2023文化祭2.4

問題文

$AB<AC$ の鋭角三角形 $ABC$ について，$\angle{BAC}$ の二等分線と線分 $BC$ との交点を $D$ とし，点 $D$ から線分 $AB,AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $F,E$ としたとき，以下が成立しました．$$AE=4,CE=2,CD=2\sqrt{2}$$三角形 $ABC,AEF$ の外接円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2$ ，その中心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし，$\omega_1$ と $\omega_2$ との交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $PO_2$ と直線 $DO_1$ との交点を $Q$ としたとき，線分 $PQ$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

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