KOTAKE杯004(C)

問題文

垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり
$AB \cdot CH＝30，BC \cdot AH＝28，CA \cdot BH＝26$
が成立したので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB＜BC$なる鋭角三角形$ABC$があり，$B$から$AC$におろした垂線の足を$D$とし，線分$BC$の中点を$M$とする．三角形$ABC$の外接円上に点$E,F$をとると$4$点$EDMF$はこの順に同一直線上に存在し，$DE＝6，MF＝8，CD＝15$であったので線分$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB＜AC$の三角形$ABC$があり，内心を$I$，直線$AI$と三角形$ABC$の外接円の交点を$M(≠A)$とする．$∠A$内の傍接円と辺$BC$の共有点を$P$としたとき$4$点$BIPM$は共円であり，$BI＝5，BC＝11$であった．このとき$IP$の長さは正の整数$a,b$と平方因子を持たない正の整数$c$を用いて，$a−b \sqrt{c}$と表せるので$a+b+c$を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．

問題文

$BC=18$ かつ面積が $162$ なる三角形 $ABC$ について，重心を $G$，$G$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると，三角形 $PGC$ の面積が $30$ となりました．$AC$ の長さの二乗を求めてください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ において，辺 $BC, CA, AB$ 上(端点除く)に点 $P, Q, R$ をとると，四角形 $AQPR$ は円 $\omega$ に内接し，点 $P$ で辺 $BC$ に接しました．点 $A$ における円 $\omega$ の接線と，直線 $BC$ の交点を $S$ とします．また，$AS$ と$QR$ の交点を $T$ ，$AP$ と $QR$ の交点を $U$ ，$AC$ の中点を $M$ ，円 $\omega$ の中心を $O$ とすると，以下が成り立ちました．

• $\angle{CAT}=90$ °
• $CO=20$
• $SU$ は $\angle{ASP}$ の角の二等分線
• $MO=2$

このとき，$AB$ の長さは，互いに素な正整数 $a, b$ と，平方因子をもたない正整数 $c$ を用いて，$\dfrac{a\sqrt{c}}{b}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正整数になるので，半角数字で解答してください．

問題文

$AB＜AC$の鋭角三角形$ABC$があり垂心を$H$，外心を$O$とする．
直線$AO$と$BC$の交点を$D$とすると$AB：BD＝5：3，CH＝27，AH＝19$
が成立したので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$AB＝AE，BC＜DE$を満たす円に内接する五角形$ABCDE$がある．
$AC$と$BE$の交点を$F$，$AD$と$BE$の交点を$G$とすると
$BG＝153，EF＝187，FG＝117$が成立した．
直線$CD$と直線$BE$の交点を$P$とするとき$BP$の長さを解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を，小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします．このとき，以下の値を求めてください：

$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$

解答形式

互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

鋭角三角形$ABC$があり$BC$の中点を$M$，垂心を$H$とすると
$AM＝20，BC＝16，MH＝4$であったので$AH$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形$ABC$の重心を$G$とすると，$∠AGB＝120°，∠AGC＝150°，AB＝14$
であったので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

いま，「飛翔の武神・真田幸村」「覚醒のネコムート」「大狂乱のネコライオン」(以降真田・ムート・ライオンと表記)がおり，$3$ キャラが同じ距離をそれぞれ一定速度で移動します．最初，$3$ キャラは真田，ライオン，ムートの順に速く，真田とライオンの所要時間の差と，ライオンとムートの所要時間の差の比は $6:5$ でした．しかし，ムートの本能が解放され，移動速度が $10$ 上がると，真田，ムート，ライオンの順に速くなり，真田とムートの所要時間の差と，ムートとライオンの所要時間の差は $11:10$ になりました．
　このとき，本能解放後のムートの速度としてあり得る最小の正整数値を求めてください．
　ただし，他のキャラの速度も正整数値であるとします．

解答形式

答えは正整数値となるので，半角数字で解答してください．