アクセスがしづらい状況について (2025年1月23日14:22)
現在、ポロロッカにアクセスがしづらい状況が発生しております。 サーバー強化など応急処置は完了しておりますが、本格的な調査は2月ごろとなる見込みです。 ご迷惑をおかけし、大変申し訳ございません。
問題文
$\ x,\ a,\ b,\ c,\ d\ $は実数であるとする。$xy\ $平面上に以下のグラフを書く。
$$ y = x^4 + ax^3 + bx^2 +cx +d $$
このとき、このグラフにおいて極値を取る$\ x\ $座標が3つ存在する条件を導け。
ただし、その3つは互いに異なるものとする。
解答形式
入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。
注意
解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。
もし余裕があれば...
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問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。
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例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
（もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）- この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
- ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
- ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？
ヒント1
$$ y^{\prime} = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx +c $$
と書け、$y^{\prime} = 0\ $が相異なる3つの実数解をもてばよい。
ただしこれを直接解くのは難しいので、ちょっとした工夫が必要になる。例えば、$xz\ $平面で
$$ z = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx +c $$
というグラフが$\ z = 0\ $と3つの相異なる交点をもつ条件と読み替えて考えてみよう。
ヒント2
$$ z = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx +c $$
の極値を調べ、「極大値が正」かつ「極小値が負」であれば相異なる3つの交点を持ちそうである。（実際にグラフを書いて見よ。）したがって、
- $z^{\prime} = 0\ $を満たす実数$\ x\ $が2つ存在すること。
- $z^{\prime} = 0\ $の解を$\ s,\ t\ (s<t)\ $としたとき、$z(s)>0\ \land\ z(t)<0$
の2つを検討すればよい。特に、2では$\ z^{\prime}(s)=0,\ z^{\prime}(t)=0\ $が有用。
