$\ x,\ a,\ b,\ c,\ d\ $は実数であるとする。$xy\ $平面上に以下のグラフを書く。
$$ y = x^4 + ax^3 + bx^2 +cx +d $$
このとき、このグラフにおいて極値を取る$\ x\ $座標が3つ存在する条件を導け。
ただし、その3つは互いに異なるものとする。
入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。
解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。
問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。
例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
(もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します)
$$ y^{\prime} = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx +c $$
と書け、$y^{\prime} = 0\ $が相異なる3つの実数解をもてばよい。
ただしこれを直接解くのは難しいので、ちょっとした工夫が必要になる。例えば、$xz\ $平面で
$$ z = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx +c $$
というグラフが$\ z = 0\ $と3つの相異なる交点をもつ条件と読み替えて考えてみよう。
$$ z = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx +c $$
の極値を調べ、「極大値が正」かつ「極小値が負」であれば相異なる3つの交点を持ちそうである。(実際にグラフを書いて見よ。)したがって、
の2つを検討すればよい。特に、2では$\ z^{\prime}(s)=0,\ z^{\prime}(t)=0\ $が有用。