互いに素な距離の結晶構造予想

予想のルールと定義:

1. 平面上の点集合 $S$: 2次元平面上に配置された、無限に多くの点の集合 $S = {P_1, P_2, P_3, \dots }$ を考えます。
2. 整数距離の制約: $S$ に属する任意の異なる2つの点 $P_i$ と $P_j$ の間の距離 $d(P_i, P_j)$ は、常に正の整数であるとします。
   • 例: $(0,0)$ と $(3,4)$ の距離は $\sqrt{3^2+4^2}=5$ で整数。
3. 「互いに素な距離」の条件: $S$ に属する任意の異なる3つの点 $P_i, P_j, P_k$ を選んだとき、それら3点間の距離の組 $(d(P_i, P_j), d(P_j, P_k), d(P_k, P_i))$ は、必ず「互いに素な数の組」であるとします。
   • 「互いに素な数の組」とは、それら3つの数の最大公約数が $1$ であることを意味します。
   • 例: $(3,4,5)$ は互いに素な数の組（$\text{gcd}(3,4,5)=1$）。
   • 例: $(6,8,10)$ は互いに素な数の組ではない（$\text{gcd}(6,8,10)=2 \ne 1$）。

予想の内容

2次元平面上に、無限に多くの点を含み、かつ上記の「整数距離の制約」と「互いに素な距離の条件」を同時に満たす点集合 $S$ は存在しない。

解答形式

この問題が真か偽である証明をしなさい。