数学の問題一覧
問題文
下の問題の積分の値を求めなさい。
$$ \int_0^\infty \frac{\ln(x)}{(x^2+1)^2} dx $$
解答形式
例）$-\frac{1}{2}$の場合
-1/2
と半角英数字で入力してください。
問題文
2次元座標平面上の有限な閉じた凸領域 $\mathcal{D}$ に対し, $\mathcal{D}$ の境界 $\beta=\partial\mathcal{D}$ が次を満たすとします.
(1) $\beta$ は滑らかな単純閉曲線です.
(2) $\beta$ 上の任意の点 $O$ に対して $O$ を中心とする半径が $1$ である円は $\beta$ との交点を正確に $2$ つ持ちます.
(3) $\beta$ 上の任意の点 $O$ に対し, $O$ で $\beta$ と接する直線は $\beta$ と $O$ 以外の交点を持ちません.
両端が $P, Q$ で, 中点が $M$ の長さ $1$ の棒を考えましょう. この棒の両端点が常に $\beta$ の上に置かれるように棒を曲線に沿って一周すると, つまり $\beta$ に沿って二点 $P, Q$ を連続的に一周すると $M$ の跡は単純閉曲線 $\gamma$ になります。
この時, 二つの曲線 $\beta,\gamma$ の間にある領域の広さが $\frac{\pi}{4}$ であることを証明しなさい.
解答形式
証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
次の二つの条件を満たす $n$ 個の実数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ に対して $\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_ia_{i+1}\right)+a_na_1$ の最大値を求めなさい. ただし, $n\ge 3$ である.
$$\begin{matrix}a_1+a_2+\cdots+a_n=0, & a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=1\end{matrix}$$
解答形式
最初の行に $\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_ia_{i+1}\right)+a_na_1$ の最大値を入力してください.
2列目は空白にしておいてください.
3行目から証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
実数全体で定義された実関数 $f$ は二度微分可能であり, $f^{\prime\prime}$ が連続である. そしてすべての実数 $x$ に対して $f^{\prime}(x) > 0, f^{\prime\prime}(x) < 0$ である.
このとき, 任意の正の実数 $t$ に対して次の式が成立することを証明しなさい.
$$\left|\int_0^t\cos{f(x)}dx\right| \le \frac{2}{f^\prime (t)}$$
解答形式
証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
$37^{2024}$ の十の位と一の位の数をもとめてください.
解答形式
$37^{2024}$ の十の位と一の位の数を空白で区切って1行に入力してください.
例えば $37^{2024}$ の十の位が $0$ で一の位が $2$ の場合は 0 2 のように入力してください。
問題文
次の式を満足す実数 $N$ を求めなさい.
$$\sum_{k=1}^{2024}(2025-k) \cdot 2024^k \cdot 2025^{2024-k} = 2024^N$$
解答形式
$N$ をそのまま入力してください.
問題文
3次元座標空間で式 $4z^2=x^2+y^2-1$ を満たす点 $(x,y,z)$ の集合からなる曲面を $S$ とします. 点 $P(1,2,1)$ を通る直線のうち, 正確に二つが $S$ に完全に含まれることを示してください.
またこの二つの直線が成す鋭角を $\theta$ とする時, $\cos\theta$ を求めなさい.
解答形式
最初の行に $\cos\theta$ を入力してください.
2列目は空白にしておいてください.
3行目から証明過程をできるだけ詳しく作成してください.
問題文
次の行列 $A$ に対して等式 $A^5 = aA^2+bA+cI$ が成立するる実数 $a, b, c$ を求めなさい. ただし, $I$ は $3\times3$ 単位行列である.
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
解答形式
$a, b, c$ を空白で区切って1行に入力してください. 例えば $(a,b,c)=(7,15,92)$ であれば解答として 7 15 92 を入力してください.
問題文
正の整数 $a,b,c$ が
$$
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^b
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^c
=\begin{pmatrix} 1 & 20 & 2024\\ 0 & 1 & 24 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
$$
を満たすとき、$a+b+c$ の値を求めよ。
解答形式
半角数字で1行目に入力せよ。
問題文
$a>0$ を定数とする。$t\geq0$ で定義された実数値関数 $x(t)$ について、以下の微分方程式の初期値問題を考える:
$$
\begin{cases}
\displaystyle x''(t)=-\frac{x(t)}{(1+\lbrace x(t) \rbrace^2)^2} \ \ \ (t\geq0)\\
\displaystyle x(0)=\frac{\sqrt2}{4}, \ x'(0)=a
\end{cases}
$$
（１）$\displaystyle \lim_{t \to +\infty}x(t)=+\infty$ となる $a$ の範囲は、$\displaystyle a \geq \frac {\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イ}}}{\fbox{ウ}}$ である。
（２）$\displaystyle a = \frac {\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イ}}}{\fbox{ウ}}$ のとき、$\displaystyle x(t)=\frac{3}{4}$ となる $t$ の値は $\displaystyle t = \frac {\fbox{エ}}{\fbox{オカ}}+\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}\log2$ である。ただし $\log$ は自然対数とする。
解答形式
ア〜クには、0から9までの数字が入る。同じ文字の空欄には同じ数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「エオカキク」を半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、根号の中身が最小になるように答えよ。