$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。 $P(0)=6$ $P(1)=4$ のとき、$P(4)$の値を求めよ。
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$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。 すべての整数$ n $に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする $P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。 このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。
半角スペースなし
以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。
$$ \left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x $$
ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。
答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。 末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。
例)答えが $-1,8,9,10$ のとき
-1 8 9 10
と解答してください。
与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030
因数分解された式のみ回答
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
$(a_1,a_2,...,a_{100})$ は $(1,2,...,100)$ の順列です。数列 $a$ のコストを次のように定義します。 $$ \sum^{50}_{x=1}\sum^{100}_{y=31}|a_x-a_y| $$ コストとしてあり得る最小値はいくつですか?
非負整数で解答してください。
$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。
半角数字で入力してください。
集合 $\{ 1,2,...,20 \}$ を $X$ とおきます。 全射である関数 $f:X \to X$ であって以下の条件を満たすものはいくつありますか? $n< 7$ を満たす正整数全てについて、ある正整数 $k$ が存在して $f^k(n)>11$ が成立する。 補足: $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成です。
式1の時、式2の解を求めよ。 ただし、数の小さい順に答え、 答えが2つ以上ある場合、「,」を用いること。 例 2分の1と1の時は、1/2,1
$$ 12a^{2}-a=1 $$
$$ 16a^{2}-8a-9a^{2}-6a $$
$10^{12}$ 以下の正整数であって,$9$ の倍数または $10$ 進法表記した時どこかの桁に $9$ が現れる数はいくつありますか?
非負整数で入力してください。
$(0,0),(4,0),(0,4),(4,4)$を頂点とする正方形を、頂点が全て格子点上にある三角形4つに分割する方法はいくつありますか。 回転や裏返しをして同じ形になるものも区別するものとします。
$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$ $4桁の自然数A,Bにおいて$$$ \begin{eqnarray} \frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n \end{eqnarray} $$$ (nは2以上の整数)$ $のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$ 半角数字のみで答えよ
nを素数、o,kを正の整数とする。
2ⁿ+5⁰=k²
をみたすn,o,kの組(n,o,k)をすべて求めよ。
答えとなるn,o,pの値の総和を回答してください