$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。 すべての整数$ n $に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする $P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。 このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。
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$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。 $P(0)=6$ $P(1)=4$ のとき、$P(4)$の値を求めよ。
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$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。
半角数字で入力してください。
式1の時、式2の解を求めよ。 ただし、数の小さい順に答え、 答えが2つ以上ある場合、「,」を用いること。 例 2分の1と1の時は、1/2,1
$$ 12a^{2}-a=1 $$
$$ 16a^{2}-8a-9a^{2}-6a $$
以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。
$$ \left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x $$
ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。
答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。 末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。
例)答えが $-1,8,9,10$ のとき
-1 8 9 10
と解答してください。
与式を因数分解せよ。x^6 - 41x^5 + 652x^4 - 5102x^3 + 20581x^2 - 40361x + 30030
因数分解された式のみ回答
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
$(0,0),(4,0),(0,4),(4,4)$を頂点とする正方形を、頂点が全て格子点上にある三角形4つに分割する方法はいくつありますか。 回転や裏返しをして同じ形になるものも区別するものとします。
純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。 正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。 $$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$ 必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103, 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$ を用いてよい。
tan1°は有理数か
はいorいいえで答えてね!
(解答が間違っていました。すみませんでした。修正しました.)
$$ 4a^{2}-4a=-1 $$
$$ (2a-2)^{10000} $$
$n ≧2$を整数、$p $を素数とする。正の整数 $x$ についての方程式 $x^n - (x-p)^n = p^n$ を考える。 $p$ が奇素数であり、$p$が $x$ を割り切らないとき、この方程式は解を持たないことを示せ。
何の定理を使用したかを明確にされた上で、数式を出来るだけ省いてもらった形の簡単な証明で構いません
3次の多項式 $P(x)$ は整数係数を持ち、すべての係数が整数であるとする。 0 でないある整数 $M$ について、$P(x)$ は以下の条件を満たす。 $kP(k) = M (k=1, 2, 3, 4)$ このとき、M が取りうる最小の正の整数値を求めよ。