KOTAKE杯006(B)

問題文

正三角形 $ABC$ があり，その内部に点 $D$ をとると，
$$AD=33,\quad BD=4,\quad \angle ADB=120^\circ$$
が成立しました．線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AC$ 上に点 $D$ を，$\angle CBD=\angle CAM$ を満たすようにとると，
$$AD=1,\quad BD=6\sqrt{2},\quad DM=4\sqrt{2}$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB=AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，その外接円上に点 $D(\neq B)$ を，$AC\perp BD$ を満たすようにとると，
$$CD=3,\quad AD=7$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，
$$BD=3,\quad AC=10,\quad \angle ADO=90^\circ$$
が成立しました．このとき，線分 $AD$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$∠A$が鋭角であり$AB＝AD，BC＝CD＝7，∠ABC＝∠CDA＝90°$を満たす四角形$ABCD$がある．線分$AB$，線分$AD$の中点をそれぞれ$M,N$とし，直線$MN$と直線$BC$の交点を$P$とすると$AP＝24$であったので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，内接円 $\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $BC,EF$ の交点を $P$ とし，$I$ から線分 $AP$ におろした垂線の足を $Q$，線分 $DQ$ と $\omega$ の交点のうち $D$ でないものを $R$ とすると，
$$RD=9,\quad RQ=6,\quad AF=10$$
が成立しました．このとき，線分 $PR$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください

問題文

三角形 $ABC$ の内部に点 $D$ をとると $DB＝DC,AC＝AD, \angle DBC=19^{\circ}, \angle ABD=30^{\circ} $ が成立したので $\angle BAC$ の大きさを度数法で解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap

$2$ 番目に小さい正の約数と $3$ 番目に小さい正の約数の和が $12$ であるような，正の約数が $3$ つ以上ある正の整数のうち，$100$ 以下のものの総和を求めよ．

$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．

問題文

鋭角三角形$ABC$があり垂心を$H$とすると$AH＝7，BH＝CH＝2$であったので
$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$\angle B=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について，線分 $AC$ の中点を $M$ とし，内部に $PM\parallel BC$ なるように点 $P$ を取り，三角形 $BPM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とする．$AP=5, PM=8, MA=10$ が成り立っているとき，線分 $PX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり
$AB \cdot CH＝30，BC \cdot AH＝28，CA \cdot BH＝26$
が成立したので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．