KOTAKE杯007(F)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年8月1日10:00 正解数: 29 / 解答数: 30 (正答率: 96.7%) ギブアップ不可
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この問題はコンテスト「KOTAKE杯007」の問題です。
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問題文

三角形 $ABC$ があり，線分 $BC$ 上に点 $P$ をとる．三角形 $ABP$$,$ 三角形 $ACP$ の内心をそれぞれ $I,J$ とすると，
$$IJ \parallel BC,\quad AB:AC=4:5,\quad BP=8,\quad CP=9$$
が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．

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答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

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$$BP=3,\quad CP=5$$
が成立したので線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

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三角形 $ABC$ があり，内心を $I$ とし直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $BDI$ の外接円は三角形 $ABC$ の外接円に点 $B$ で内接し，以下が成立しました．
$$BD=12,\quad BI=10$$
このとき線分 $AC$ の長さを解答してください．

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三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると，
$$DG＝BF,\quad AD＝9,\quad AF＝4$$
が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

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$AB<AC$ なる三角形があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $A$ でないものを $D$ とすれば，
$$AB＝BD,\quad AM＝3,\quad CD＝2$$
が成立したので線分 $BC$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください．

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$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり， $A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし，線分 $AH$ 上に $\angle ABP = \angle ACP$ を満たす点 $P$ をとります．また，線分 $BC$ と三角形 $ACP$ の外接円の交点のうち $C$ でないものを $D$ とし，直線 $BP,AD$ の交点を $E$ とすれば，
$$BP=CD=5,\quad PE＝3$$
が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．

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外接円 $\Omega$ を持つ鋭角三角形 $ABC$ があり，垂心を $H$ とします．直線 $AH$ と $\Omega$ の交点のうち $A$ でないものを $P$ とすれば，
$$BP＝HP＝15,\quad AH＝9$$
が成立したので線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

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$$BE＝CD,\quad AB=16,\quad BD＝35,\quad CE＝25$$
が成立しました．このとき線分 $AC$ の長さを解答してください．

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$$BT=BR,\quad PR=6,\quad QS=7,\quad BD＝9$$
このとき三角形 $BPR$ の面積の $2$ 乗を解答してください．

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$$AB:AC=3:5,\quad AI＝IM＝20$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

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鋭角三角形 $ABC$ があり，$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とします．三角形 $ABC$ の外接円の，$C$ を含まない方の弧 $AB$ 上に点 $P$ をとれば，
$$\angle APH=90^\circ ,\quad BH＝3,\quad CH=4,\quad AP＝10$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

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