三角形 $ABC$ があり,内心を $I$ とし直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $BDI$ の外接円は三角形 $ABC$ の外接円に点 $B$ で内接し,以下が成立しました. $$BD=12,\quad BI=10$$ このとき線分 $AC$ の長さを解答してください.
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$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり, $A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とし,線分 $AH$ 上に $\angle ABP = \angle ACP$ を満たす点 $P$ をとります.また,線分 $BC$ と三角形 $ACP$ の外接円の交点のうち $C$ でないものを $D$ とし,直線 $BP,AD$ の交点を $E$ とすれば, $$BP=CD=5,\quad PE=3$$ が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください.
三角形 $ABC$ があり,線分 $BC$ 上に点 $P$ をとる.三角形 $ABP$$,$ 三角形 $ACP$ の内心をそれぞれ $I,J$ とすると, $$IJ \parallel BC,\quad AB:AC=4:5,\quad BP=8,\quad CP=9$$ が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください.
$AB=15,AC=20$ の鋭角三角形 $ABC$ があり,辺 $AC$ 上に $AB=AD$ となる点 $D$ をとります.線分 $BD$ の中点を $M$ とすると三角形 $ADM$ の外接円は直線 $CM$ に点 $M$ で接したので線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
三角形 $ABC$ があり重心を $G$ とし,辺 $AB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とします.辺 $BC$ 上に点 $P$ をとると $4$ 点$BMGP$ ,$4$ 点 $CNGP$ はそれぞれ共円であり, $$BP=3,\quad CP=5$$ が成立したので線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
三角形 $ABC$ があり内心を $I$ とし,辺 $BC$ の中点を $M$ とすると, $$AB:AC=3:5,\quad AI=IM=20$$ が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
$\angle A$ が鈍角である内接四角形 $ABCD$ があり,三角形 $ABD$ の内接円と $AB,AD$ の接点をそれぞれ $P,Q$ とし,三角形 $BCD$ の内接円と $BC,CD$ の接点をそれぞれ $R,S$ とします.三角形 $ABD$ における $\angle A$ 内の傍接円と直線 $AB$ の接点を $T$ とすると,以下が成立しました. $$BT=BR,\quad PR=6,\quad QS=7,\quad BD=9$$ このとき三角形 $BPR$ の面積の $2$ 乗を解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ があり,$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とします.三角形 $ABC$ の外接円の,$C$ を含まない方の弧 $AB$ 上に点 $P$ をとれば, $$\angle APH=90^\circ ,\quad BH=3,\quad CH=4,\quad AP=10$$ が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ があり重心を $G$,垂心を $H$ とします.線分 $GH$ の中点を $M$ とすれば,直線 $AM$ は $ \angle BAC$ を二等分し,
$$BC=30,\quad CH=25$$ が成立しました.このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり,点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.半直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすれば, $$AC=BP,\quad BD=60,\quad CD=92$$ が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
鋭角三角形 $ABC$ があり,点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.$AD,EF$ の交点を $P$ とすると,以下が成立しました. $$DE=37,\quad EF=40,\quad AP:PD=5:6$$ このとき線分 $DF$ の長さを解答してください.
三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします.直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると, $$DG=BF,\quad AD=9,\quad AF=4$$ が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
三角形 $ABC$ があり,内心を $I$ とします.直線 $BI,AC$ の交点を $D$ とし,端点を除く線分 $BC$ 上に $4$ 点 $ABDE$ が共円となるように点 $E$ をとると,直線 $AI,DE$ は三角形 $ABC$ の外接円上で交わり,以下が成立しました. $$AD=2,\quad BE=3$$ このとき線分 $AC$ の長さは.正の整数 $a,b,c$ を用いて$\frac{b+\sqrt{c}}{a} $ と表されるので $a+b+c$ を解答してください.