(i).$M\subset {S}$であるから$S\in\mathfrak {O}_M$でありる。また定義より、$\emptyset\in\mathfrak {O}_M$である。よって$$\emptyset,S\in {\mathfrak {O}_M}$$つぎに$X,Y\in\mathfrak {O}_M$とすれば、$M\subset {X},M\subset {Y}⇒M\subset {X\cap {Y}}$したがって
$$X\cap {Y}\in{\mathfrak {O}_M}$$最後に$O$$_\lambda\in\mathfrak {O}_M$とすれば明らかに$$ M\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda⇔ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak {O}_M$$よって$\mathfrak {O}_M$は$S$の位相となる。
(ii)例えば以下のような例がある。
$L'\subset{}L\subset{M}\in\mathcal{P}(S)$として、$L'$が$L$の$L$が$M$の真部分ならば$\mathfrak{O}_M\cup{
\{{L'\}}}\not\in\{{\mathfrak{O}_M}\}_{M\in\mathcal{P}(S)}$
ここで$\mathfrak{O}_M\cup{\{{L'\}}}$は$S$の位相であることは次のように示せる。
$\mathfrak{O}_M$の定義より$\emptyset,S$は明らかに含まれる。また$L',X\
(X\in\mathfrak{O}_M)$なら$L'\subset{M}\subset{X}$より$$L'\cap{X}=L'\in\mathfrak{O}_M\cup\{L'\}$$また$O_\lambda$を族として$O_\lambda$中に$L'$が含まれないなら$\mathfrak{O}_M$中の族より明らかに$\mathfrak{O}_M\cup\{L'\}$に含まれ、$L'$を含むなら$O_{\lambda'}=L'$として$$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda=\biggr(\bigcup_{\lambda\in\Lambda-\{\lambda'\}}O_\lambda\biggr)\cup{L}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda-\{\lambda'\}}O_\lambda\in\mathfrak{O}_M\cup\{L'\}$$よって位相であり
$$|\{\mathfrak{O}_M\}_{M\in\mathcal{P}(S)}|≦|\{\mathfrak{O}_M\}_{M\in\mathcal{P}(S)}\cup\{\mathfrak{O}_M\cup\{L'\}\}|$$
これより$S$が有限なら$\{{\mathfrak{O}_M}\}_{M\in\mathcal{P}(S)}$より大きい濃度の位相の集合が存在するといえる。