$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。
半角左詰め
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非負整数 $n$ に対して, $a_n$ を以下で定めます.$$a_0=1,\quad a_{n+1}=10a_n+4$$ このとき, $a_n$ が累乗数となるような非負整数 $n$ に対して, $a_n$ の総和を求めてください. ただし, 累乗数とは, 自然数 $a$ と$2$ 以上の自然数 $b$ を用いて $a^b$ と表せる数です.
例)整数を答えてください.
$n$を整数とする。$n^{8}-n^{2}$を割り切る最大の自然数を求めよ。
半角数字で入力してください。
✕✕
正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき, $$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$ の値を求めてください.
半角英数字で回答してください.
$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。 $P(0)=6$ $P(1)=4$ のとき、$P(4)$の値を求めよ。
半角でスペースなし
$n$を$2025$以下の正整数とする。 ある$n$について、$(n^{2}+n+1)(n^{3}+n^{2}-2n)$がもつ素因数$2$の個数を$d(n)$で表す。 $d(n)=1$となるような$n$の個数を求めよ。
$p=3, \quad q=5, \quad r=7$
$X = p^q + q^p$ $Y = q^r + r^q$ $Z = r^p + p^r$
$N = X^p + Y^q + Z^r$
このとき、$N$を$105$で割った余りを求めよ。
整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。
$x \equiv p \pmod{9797}$ $x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$
この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。
$ a!=b^{2}+2となる自然数a,整数bについて、 $ $ k(a,b)=a+bとおく。 $ $ k(a,b) の値として考えられるものは何個あるか。 $
次の方程式を満たす、素数 $p$ と正の整数 $n, m$ の組 $(p, n, m)$ を全て求めよ。 $$ p^n + 144 = m^2 $$
条件を満たす組中の数字の総和を半角で入力してください
各桁の数字が $3,7,5,6,4$ のいずれかであるような正の整数をエグい数と呼ぶことにする。$5$ 桁のエグい数であって、$5^5$ の倍数であるものを $1$ つ求めよ。
なお、本問では $10$ 進法を用いている。
半角数字のみで1行目に入力せよ。 $10$ 進法で答えること。
命題「aⁿ+bⁿ=cⁿ (n整数、a,b,cの最大公約数1)を満たす全ての自然数a,b,cは互いに素である」の真偽を述べよ
真ならば真、偽ならば偽と入力