$a,b$ を実数とする.$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ は $f(1/2)\cdot f(1/3)=4$ を満たしている.$f(2)+f(3)$ としてありうる最小の正の整数値を求めよ.
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素数の組 $(p, q, r, s, t)$ について $$\dfrac{p^4 + q^4 + r^4 + s^4 + t^4 + 340}{8}$$ としてありうる最小の素数値を求めよ.
円に内接する四角形 $ABCD$ について,線分 $AC$ はその直径をなす.線分 $BD$ の中点を $M$ とすると $AM=AD, BD=12, CD=13$ が成立した.線分 $BC$ の長さの二乗を求めよ.
$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり,任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない(どの桁も $10$ を超えない)ようなものについて,その要素数の最大値を求めよ.
任意の正の整数 $m, n(m\leq n)$ について $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n} a_i| \leq 2$ が成り立つような整数列 $a_i (i\geq 1)$ について,$(a_1, a_2, …, a_{100})$ としてありうる組は $N$ 個存在する.$N$ を素数 $97$ で割った余りを求めよ.
訂正: 「非負整数列」と誤りがありましたが,正しくは整数列です.申し訳ありません.
$1$ の位が $0,1,2,…,9$ であるような正の約数をすべて持つ最小の正の整数を求めよ.
正の整数 $n$ について,$f(n)$ を $_n\mathrm{C}_k$ が奇数であるような,$0\leq k\leq n$ を満たす整数 $k$ の個数とする.$$f(a)^2+4f(b)=f(c)^3+4$$ かつ $a+b+c=2047$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつ存在するか?
$\quad$ $BC=8$ なる三角形 $ABC$ において,内接円の半径は $2$ ,角 $A$ 内の傍接円の半径は $5$ であった.このとき,三角形 $ABC$ の面積を求めよ.
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので, $a+b$ を半角数字で解答してください.
一辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ があり,辺 $AB,BC,CD$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ を三角形 $PQR$ が $PQ=QR$ の直角三角形になるようにとると,五角形 $APQRD$ の周の長さは $36$ であった.このとき五角形 $APQRD$ の面積を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
$\angle B=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について,線分 $AC$ の中点を $M$ とし,内部に $PM\parallel BC$ なるように点 $P$ を取り,三角形 $BPM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とする.$AP=5, PM=8, MA=10$ が成り立っているとき,線分 $PX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
$AB=15,AC=20$ の鋭角三角形 $ABC$ があり,辺 $AC$ 上に $AB=AD$ となる点 $D$ をとります.線分 $BD$ の中点を $M$ とすると三角形 $ADM$ の外接円は直線 $CM$ に点 $M$ で接したので線分 $BC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
三角形 $ABC$ があり重心を $G$ とし,辺 $AB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とします.辺 $BC$ 上に点 $P$ をとると $4$ 点$BMGP$ ,$4$ 点 $CNGP$ はそれぞれ共円であり, $$BP=3,\quad CP=5$$ が成立したので線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
$AB<AC$ なる三角形があり,辺 $BC$ の中点を $M$ とし直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $A$ でないものを $D$ とすれば, $$AB=BD,\quad AM=3,\quad CD=2$$ が成立したので線分 $BC$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください.