円に内接する四角形 $ABCD$ について,線分 $AC$ はその直径をなす.線分 $BD$ の中点を $M$ とすると $AM=AD, BD=12, CD=13$ が成立した.線分 $BC$ の長さの二乗を求めよ.
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$a,b$ を実数とする.$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ は $f(1/2)\cdot f(1/3)=4$ を満たしている.$f(2)+f(3)$ としてありうる最小の正の整数値を求めよ.
素数の組 $(p, q, r, s, t)$ について $$\dfrac{p^4 + q^4 + r^4 + s^4 + t^4 + 340}{8}$$ としてありうる最小の素数値を求めよ.
$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり,任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない(どの桁も $10$ を超えない)ようなものについて,その要素数の最大値を求めよ.
$1$ の位が $0,1,2,…,9$ であるような正の約数をすべて持つ最小の正の整数を求めよ.
任意の正の整数 $m, n(m\leq n)$ について $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n} a_i| \leq 2$ が成り立つような整数列 $a_i (i\geq 1)$ について,$(a_1, a_2, …, a_{100})$ としてありうる組は $N$ 個存在する.$N$ を素数 $97$ で割った余りを求めよ.
訂正: 「非負整数列」と誤りがありましたが,正しくは整数列です.申し訳ありません.
鋭角三角形 $ABC$ について線分 $AC$ 上に点 $P$ を取り,線分 $PC$ の垂直二等分線と線分 $BC$ が交わったのでその点を $D$ とする.線分 $AB$ 上の点 $E$ が $ED\parallel AC$ を満たしている.三角形 $PED$ の外接円と線分 $BC$ が $D$ でない点 $F$ で交わっており,$$FA=FC=7, BD=4, PD=5$$ が成り立った.このとき,線分 $AC$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
正の整数 $n$ について,$f(n)$ を $_n\mathrm{C}_k$ が奇数であるような,$0\leq k\leq n$ を満たす整数 $k$ の個数とする.$$f(a)^2+4f(b)=f(c)^3+4$$ かつ $a+b+c=2047$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつ存在するか?
$\quad$ $BC=8$ なる三角形 $ABC$ において,内接円の半径は $2$ ,角 $A$ 内の傍接円の半径は $5$ であった.このとき,三角形 $ABC$ の面積を求めよ.
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので, $a+b$ を半角数字で解答してください.
三角形 $ABC$ において内接円と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします.直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でないものを $G$ とすると, $$DG=BF,\quad AD=9,\quad AF=4$$ が成立したので線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
$AB<AC$ なる三角形があり,辺 $BC$ の中点を $M$ とし直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $A$ でないものを $D$ とすれば, $$AB=BD,\quad AM=3,\quad CD=2$$ が成立したので線分 $BC$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください.
$2$ 番目に小さい正の約数と $3$ 番目に小さい正の約数の和が $12$ であるような,正の約数が $3$ つ以上ある正の整数のうち,$100$ 以下のものの総和を求めよ.
外接円 $\Omega$ を持つ鋭角三角形 $ABC$ があり,垂心を $H$ とします.直線 $AH$ と $\Omega$ の交点のうち $A$ でないものを $P$ とすれば, $$BP=HP=15,\quad AH=9$$ が成立したので線分 $AC$ の長さの $2$ 乗を解答してください.