任意の正の整数 $m, n(m\leq n)$ について $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n} a_i| \leq 2$ が成り立つような整数列 $a_i (i\geq 1)$ について,$(a_1, a_2, …, a_{100})$ としてありうる組は $N$ 個存在する.$N$ を素数 $97$ で割った余りを求めよ.
訂正: 「非負整数列」と誤りがありましたが,正しくは整数列です.申し訳ありません.
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素数の組 $(p, q, r, s, t)$ について $$\dfrac{p^4 + q^4 + r^4 + s^4 + t^4 + 340}{8}$$ としてありうる最小の素数値を求めよ.
$a,b$ を実数とする.$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ は $f(1/2)\cdot f(1/3)=4$ を満たしている.$f(2)+f(3)$ としてありうる最小の正の整数値を求めよ.
円に内接する四角形 $ABCD$ について,線分 $AC$ はその直径をなす.線分 $BD$ の中点を $M$ とすると $AM=AD, BD=12, CD=13$ が成立した.線分 $BC$ の長さの二乗を求めよ.
正の整数 $n$ について,$f(n)$ を $_n\mathrm{C}_k$ が奇数であるような,$0\leq k\leq n$ を満たす整数 $k$ の個数とする.$$f(a)^2+4f(b)=f(c)^3+4$$ かつ $a+b+c=2047$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつ存在するか?
$1$ の位が $0,1,2,…,9$ であるような正の約数をすべて持つ最小の正の整数を求めよ.
$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり,任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない(どの桁も $10$ を超えない)ようなものについて,その要素数の最大値を求めよ.
鋭角三角形 $ABC$ について線分 $AC$ 上に点 $P$ を取り,線分 $PC$ の垂直二等分線と線分 $BC$ が交わったのでその点を $D$ とする.線分 $AB$ 上の点 $E$ が $ED\parallel AC$ を満たしている.三角形 $PED$ の外接円と線分 $BC$ が $D$ でない点 $F$ で交わっており,$$FA=FC=7, BD=4, PD=5$$ が成り立った.このとき,線分 $AC$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
角 $C$ が直角となるような三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D$ をとると,角 $DAC:$ 角 $BAD=1:2$,$AD$ の長さは $3 \mathrm{cm}$,$AB$ の長さは $5 \mathrm{cm}$ となりました.このとき,$BD:DC$ を求めてください.ただし,求める比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せるので $a+b$ の値を解答して下さい.
半角数字で解答してください.
$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり,その外接円を $\Gamma$ とします.辺 $BC$ の中点を $D$ とすると,$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました.また,辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています.$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき,線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を求めてください.
半角数字で解答してください。
$6106$以下の正整数$N$について,以下のようにスコアを定める. スコア:整数$a,b(a≦b)$の組で,$ab=N$を満たすようなものの個数. スコア$=2$となるような$N$は何通りありますか. 但し,以下に示す10000以下の素数表を用いてもいい. http://allthingsuniverse.com/jp/prime/10000.html
半角数字で入力してください.
$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ. $$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$
答えは正整数となるので、その値を解答してください
正の整数について定義され,$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり,任意の正の整数 $x,y$ について $$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$ を満たすものすべてについて,$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき,$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ.