PDC009 (C)

問題文

$14\times 14$ のマス目に以下のように整数を書き込む．ただし，左から $m$, 上から $n$ 番目のマスを $(m,n)$ で表すものとする．

• $(1,1)$ に $1$ を，$(1,2)$ と $(2,1)$ に $2$ を書き込む．
• $k\geq 3$ について，すべてのマスに整数が書き込まれるまで以下を繰り返す: $k-2$ が書き込まれているいずれかのマスと，辺を共有せず頂点のみを共有しているマスであり，まだ整数が書き込まれていないようなものすべてに $k$ を書き込む．

いま，PDC 君は $(m,n)$ にいるとき $(m+1,n), (m,n+1)$ に瞬間移動することができ，またそれ以外の移動をすることができない．あるマスからあるマスへの経路について，全ての訪問したマス（出発地点と到着地点を含む）に書き込まれた数字の総和をスコアとする．
$(1,1)$ から $(14,14)$ まで移動するとき，スコアが最小となるような移動方法はいくつあるか？

問題文

$$x^4-xy^3+y^2=11,　x^3y-y^4+x^2=13$$ を満たす複素数の組 $(x,y)$ について，$\dfrac{y}{x}$ としてありうる値の総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

$p^2q+16r=2s^2$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ すべてについて，$pqrs$ の総和を解答せよ．

問題文

一辺の長さが $68$ の正三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり，$D$ から $AB,AC$ に降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とする．$BE=14$ が成り立つとき，線分 $CF$ の長さを求めよ．

問題文

$0$ 以上 $1$ 以下の実数 $a_{1} , a_{2} , a_{3}$ について，以下の値の最大値を求めてください．

$$a_{1} + 2a_{2} +3a_{3} +4\sqrt{a_{1}(1-a_{1}) + a_{2}(1-a_{2}) + a_{3}(1-a_{3})}$$

解答形式

求める値を $M$ としたとき，$10000M$ の整数部分を解答してください．

問題文

正三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとったところ，以下が成立しました．

$$AP = 10 , BP = 14 , CP = 16$$

このとき，正三角形 $ABC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

求める値を $2$ 乗した値は正整数となるので，その値を求めて下さい．

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC,CA$ の中点を $M,N$ とし，三角形 $AMN$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円，半直線 $AB$ がそれぞれ $A$ でない点で交わったのでそれぞれを $D, E$ とする．$MD=5, AB=34, BE=7$ が成り立つとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて，$m + n$ の総和を求めてください．

$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます．そして，以下の操作をできなくなるまで行います．

• 黒板に書かれた $2$ つの正の整数 $x,y$ について，黒板から $x,y$ を消し，$x,y$ の最大公約数と最小公倍数を黒板に書き込む．但し，このとき，操作前と操作後での黒板に書かれた数が，重複を許して全て一致することはないようにする．

全ての操作が終了したとき，黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AC$ 上に点 $D$ を，$\angle CBD=\angle CAM$ を満たすようにとると，
$$AD=1,\quad BD=6\sqrt{2},\quad DM=4\sqrt{2}$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$1000$ の正の約数の集合を $D$ とします．また，$999$ 次方程式

$$x^{999}+x^{998}+\dots+x+1=0$$

の $999$ 個の解を $x=x_1,x_2,\dots,x_{999}$ とします．このとき，

$$\sum_{d\in D}^{}\sum_{s=1}^{999} x_s^d$$

の値を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ のうち，次の条件を満たすものはいくつありますか？

• $n$ の $k$ 個の正の約数を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_k$ としたとき，任意の $1$ 以上 $k-1$ 以下の整数 $i$ について $d_{i+1}-d_i\leq40$ が成立する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．