PDC009 (D)

問題文

正の整数 $n$ について，$f(n)$ で $n$ の正の約数であり，$n$ の最小の素因数を素因数に持たないようなもののうち最大のものを表す．例えば，$f(2\times 3^2)=3^2, f(2\times 3\times 5)=3\times 5$ である．ただし，$f(1)=1$ と扱う．
また，$g(n)$ で $n$ の正の約数 $d$ すべてについて $f(d)$ の総和を表す．
このとき，
$$g(2\times 3\times 7\times 11\times 13\times 17)-g(5\times 7\times 11\times 13\times 17)$$ を求めよ．

問題文

$14\times 14$ のマス目に以下のように整数を書き込む．ただし，左から $m$, 上から $n$ 番目のマスを $(m,n)$ で表すものとする．

• $(1,1)$ に $1$ を，$(1,2)$ と $(2,1)$ に $2$ を書き込む．
• $k\geq 3$ について，すべてのマスに整数が書き込まれるまで以下を繰り返す: $k-2$ が書き込まれているいずれかのマスと，辺を共有せず頂点のみを共有しているマスであり，まだ整数が書き込まれていないようなものすべてに $k$ を書き込む．

いま，PDC 君は $(m,n)$ にいるとき $(m+1,n), (m,n+1)$ に瞬間移動することができ，またそれ以外の移動をすることができない．あるマスからあるマスへの経路について，全ての訪問したマス（出発地点と到着地点を含む）に書き込まれた数字の総和をスコアとする．
$(1,1)$ から $(14,14)$ まで移動するとき，スコアが最小となるような移動方法はいくつあるか？

問題文

$0$ 以上 $1$ 以下の実数 $a_{1} , a_{2} , a_{3}$ について，以下の値の最大値を求めてください．

$$a_{1} + 2a_{2} +3a_{3} +4\sqrt{a_{1}(1-a_{1}) + a_{2}(1-a_{2}) + a_{3}(1-a_{3})}$$

解答形式

求める値を $M$ としたとき，$10000M$ の整数部分を解答してください．

問題文

$p^2q+16r=2s^2$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ すべてについて，$pqrs$ の総和を解答せよ．

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC,CA$ の中点を $M,N$ とし，三角形 $AMN$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円，半直線 $AB$ がそれぞれ $A$ でない点で交わったのでそれぞれを $D, E$ とする．$MD=5, AB=34, BE=7$ が成り立つとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

正三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとったところ，以下が成立しました．

$$AP = 10 , BP = 14 , CP = 16$$

このとき，正三角形 $ABC$ の面積を求めて下さい．

解答形式

求める値を $2$ 乗した値は正整数となるので，その値を求めて下さい．

問題文

nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます．そして，以下の操作をできなくなるまで行います．

• 黒板に書かれた $2$ つの正の整数 $x,y$ について，黒板から $x,y$ を消し，$x,y$ の最大公約数と最小公倍数を黒板に書き込む．但し，このとき，操作前と操作後での黒板に書かれた数が，重複を許して全て一致することはないようにする．

全ての操作が終了したとき，黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

一辺の長さが $68$ の正三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり，$D$ から $AB,AC$ に降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とする．$BE=14$ が成り立つとき，線分 $CF$ の長さを求めよ．

問題文

以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて，$m + n$ の総和を求めてください．

$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AC$ 上に点 $D$ を，$\angle CBD=\angle CAM$ を満たすようにとると，
$$AD=1,\quad BD=6\sqrt{2},\quad DM=4\sqrt{2}$$
が成立しました．このとき，線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

横一列に並んだ $14$ 個のオセロの石があります．そして，以下の操作を何度か行い，黒面を向いた石の個数をできるだけ少なくします．

• 連続して並んだ $4$ 個の石を選んで，左から $1,2,4$ 個目の石を全て裏返す．

全ての操作の終了後に黒面を向く石の個数を スコア とします．最初の石の配色は $2^{14}$ 通りありますが，これら全ての場合においてスコアの総和を求めてください．
　但し，オセロの石は，片方が黒面で，もう片方が白面であるとする．

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，内心を $I$ とし直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $BDI$ の外接円は三角形 $ABC$ の外接円に点 $B$ で内接し，以下が成立しました．
$$BD=12,\quad BI=10$$
このとき線分 $AC$ の長さを解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．