数学

第3問

$(a,b) $を正の実数とする。楕円$ (\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1) $上の点 $\mathrm{P}(x_{0},y_{0}) (x_{0}>0,y_{0}>0) $における接線を $l$とする。接線 $l$と $x$軸、および$y$ 軸で囲まれる三角形の面積を $S$とする。

(1) 点 $ \mathrm{P}\ $が楕円上を動くとき、面積$S$ の最小値を $(a,b) $ を用いて表せ。

(2) 楕円の焦点の1つを $ \mathrm{F}\ $とし、$ \mathrm{F}\ $と接線 $l$ との距離を $d$ とする。この時、$d$ の最大値と最小値を $(a,b) $を用いて表せ。

(3) 楕円の焦点を $F(c,0)$および$ F^{\prime }(-c,0)\ $とする。楕円上の任意の点 $ \mathrm{P}\ $における接線を $l$とし、$ \mathrm{F}\ $から $l$ までの距離を$ d_{1}$、$ \mathrm{F}\ $から$l$までの距離を$ d_{2}$とする。このとき、$(\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}) $は一定であることを示せ。