複素数平面 4次方程式ver.

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+a z+1
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $|z|\le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $(a, b)$ に関する必要十分条件を求めよ。

$(2)$　$f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

$(2)$について、$f(1+i)$が動きうる図形を説明すれば可とします。