関数の決定

問題文

$p$ は $1<p<2$ を満たす実数とする。関数 $f(x)$ は

$$
f(x)
= p x - \frac{1}{x}
\int_{\frac{1}{\sqrt{p}}}^{\sqrt{p}} \lvert f(t) \rvert \, dt
$$

を満たしている。ただし，自然対数の底 $e$ について，$2.7<e<2.8$ である。

$(1)$　関数 $f(x)$ を求めよ。

$(2)$　$p=\sqrt{e}$ とする。$(1)$ で求めた関数 $f(x)$ について，座標平面における $y=f(x)$ のグラフの $x>0$ の部分に点 $A$，$x<0$ の部分に点 $B$ をとる。
線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。

解答形式

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