場合の数

問題文

平面上に $2$ 本の平行な直線 $l_1,\ l_2$ がある。
ある $2$ 以上の整数の組 $(x, y)$ に対して，直線 $l_1$ 上に互いに異なる $x$ 個の点 $A_1, A_2, \dots, A_x$，直線 $l_2$ 上に互いに異なる $y$ 個の点 $B_1, B_2, \dots, B_y$ をとり，
点 $A_1, A_2, \dots, A_x$ のそれぞれに対して，点 $B_1, B_2, \dots, B_y$ のいずれか $1$ 点を選んで線分で結ぶ（合計 $x$ 本の線分を引く）。また，引かれた $x$ 本の線分同士の交点のうち
直線 $l_2$ 上にない交点の個数を $C(x, y)$ と表す。
（例えば， $C(2, 2)$は$0,1$のいずれかの値をとり、$C(3, 2)$は$0,1,2$のいずれかの値をとる。また，直線 $l_2$ 上にない交点が存在しない場合，$C(x, y)=0$ とする。）
ただし，直線 $l_2$ 上にない点が，$3$ 本以上の線分の同一の交点になることはないものとする。

$(1)$　$C(5, 4)=0$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。

$(2)$　$C(5, 4)=1$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。

$(3)$　$C(5, 4)=2$ を満たす $5$ 本の線分の引き方の総数を求めよ。

$(4)$　$C(5, 4),\ C(8, 5)$ の最大値をそれぞれ求めよ。

$(5)$　$n$ を $2 $以上の整数，$m$ を $n$ 以上 $2n$ 以下の整数とする。
　　$C(m, n)$ の最大値を $m, n$ を用いて表せ。

解答形式

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