整式の割り算と極限

問題文

$r$ を正の実数とし，自然数 $n$ に対して，整式 $f_n(x)$ を

$$
f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{r^{k}}
$$

とする。また，整式 $f_n(x)$ を整式 $x^{2}-x-1$ で割った余りを $a_n x + b_n$ とする。

$(1)$　数列 {${a_n}$},{${b_n}$}の一般項をそれぞれ求めよ。

$(2)$　数列 {${a_n}$},{${b_n}$} がいずれも $0$ でない実数に収束するために正の実数 $r$ が満たすべき条件を求めよ。
　　また，そのときの極限値をそれぞれ $r$ を用いて表せ。

解答形式

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