空間図形　2直線の最短距離を与える線分の通過範囲

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，点 $A(1,0,0)$ を通り，$\overrightarrow{\ell}=(1,1,1)$ に平行な直線を $\ell_0$,
$\overrightarrow{m}=(0,0,1)$ に平行な直線を $m_0$ とする．
また，円$$
C:\ x^2+y^2=1,\ z=0
$$上に相異なる２点 $L,M$ をとる．
　点 $A$ が点 $L$ に一致するような $z$ 軸周りの回転移動によって$\ell_0$ が移る直線を $\ell_1$ とし，点 $M$ を通り $m_0$ に平行な直線を $m_1$ とする．

さらに，２直線 $\ell_1,m_1$ に対し，$\ell_1$ 上に点 $P$，$m_1$ 上に点 $Q$ を，
線分 $PQ$ の長さが最小となるようにとる．
ただし，$\ell_1,m_1$ が交わるとき，線分 $PQ$ はその交点であるとする．

相異なる２点 $L,M$ が円 $C$ 上を動くとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする．$K$ の体積を求めよ．

解答形式

答のみで構いません。