問題文
正の整数 $n$ に対し，関数 $f_n(x)$ を
$$
f_n(x)=x\lfloor \dfrac{n}{x}\rfloor
$$
で定める．ただし，$x>0$ とする．
また，実数 $t$ に対し，$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す．
⑴ 方程式 $
f_n(x)=n$ が正の実数解を無限個もつことを示せ． また，$f_1(x)=1$ の正の実数解を，値が大きい順に
$$
a_1,a_2,a_3,\ldots
$$
とするとき，
$$
\lim_{m\to\infty}\sum_{k=m}^{2m} a_k
$$
を求めよ．
⑵ 座標平面における $y=f_n(x)$ のグラフのうち，$
\dfrac{1}{2}\le x\le 1
$ を満たす部分の長さの総和を $S_n$ とする．
このとき， $$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n}
$$を求めよ．
解答形式
証明は入力せず、答えのみで良いです。
⑴の答えは1行目、⑵の答えは2行目に いずれも左詰めで入力してください。
入力例)
π 、√π、2e/3、log7 (自然対数)、(3+√2)π、5e√2、log10_2 (常用対数)
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解答提出
この問題は自動ジャッジの問題です。
解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。
