長方形と円

問題文

長方形 $\mathrm{ABCD}$ の $2$ 頂点 $\mathrm{A}\,,\mathrm{B}$ が円 $\mathrm{O}$ 上にあり$,\,$ 辺 $\mathrm{CD}$ が円 $\mathrm{O}$ に接している$.\,$ $\mathrm{A}\,,\mathrm{B}$ の各点において円 $\mathrm{O}$ に外接し$,\,$ かつ直線 $\mathrm{CD}$ に接する円をそれぞれ円 $\mathrm{O_A}\,,\mathrm{O_B}$ とする$.\,$ $2$ 円 $\mathrm{O_A}\,,\mathrm{O_B}$ が外接するときの長方形 $\mathrm{ABCD}$ の辺の長さの比 $\mathrm{\dfrac{AB}{BC}}$ の値を求めよ$.$

解答形式

答えは互いに素な正の整数 $a\,,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので$,\,$ $a+b$ の値を解答してください$.$

類題 https://pororocca.com/problem/3216/