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公開日時: 2025年5月6日16:08 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
極限
問題文
n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。
量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。
次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$
ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。
解答形式
半角で
公開日時: 2025年5月5日1:26 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX \tan\angle ACB=\frac{5}{6} AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.
解答形式
半角で解答して下さい.
公開日時: 2025年4月26日9:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 算数 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
問題文
聖くんと光くんはトランプゲームを行うことにした．
なお$1$ から $13$ までの数字が書かれたトランプをそれぞれ四枚ずつ用いる．
ルールは以下の通り．
- 聖くんはトランプを $1$ 枚から$3$ 枚まで引くことができる．
- 光くんは幾つかの質問をして,聖くんが引いたトランプに書かれた数字を回答する．
光くん「書かれた数字の和を教えて」
聖くん「$31$ だよ」
光くん「うーん難しいな……なにかヒントくれない？」
聖くん「トランプに書かれた数字の積を求めたら、各位の和は $2$ になったよ」
光くんが引いたトランプの目として考えられるものを全て求めなさい。
解答形式
答えが$1,2,4$の場合は$(1,2,4)$と入力して下さい.(小さい順に)
公開日時: 2025年4月26日9:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
問題文
SKG学院の学園祭では下のような$5$マス$\times5$マスの盤を用いて次のようなゲームを行う．
・お客さんは12個の碁石を全てマスの上に置く．
・一マスには一つまでしか碁石は置けない．
・この時スコアを次のように定める．
スコア：各行各列について，碁石が偶数個置かれているものの個数．
スコアが10となるような碁石の置き方の一例を答えよ．
解答形式
置かないマスは0，置くマスは1で表す．
例えば一番右上と一番左上にのみ碁石を置く．この置き方は下のように書くものとする．
10001
00000
00000
00000
00000
またこの時スコアは8である．