問題文
あなたは今日突然術式が覚醒し, 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し, 各日の遭遇については, 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$, 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について, 遭遇する前に確率 $p_k (0<p_k \leqq 1)$ を取り, 以下のゲームを考える。
・その日に術師と遭遇した場合, $\sqrt{p_k}$ で勝利し, 勝てば$5$点を奪うことができる。負けた場合$5$点奪われることになる。
・その日に非術師と遭遇した場合, $\sqrt{1-p_k}$ で勝利し, 勝てば$1$点を奪うことができる。同様に負けた場合$5$点奪われることになる。
$19$日間の総得点の期待値の最大値を求めてください。また, 期待値が最大となるときの $p_k$ を答えてください。
解答形式
求める期待値の最大値は互いに素な正整数 $a,c$, 平方因子をもたない $b$, 正整数 $d$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}-d$ と表せるので, $a+b+c+d$ の値とその後ろに $p_k$ の分母と分子の和をすべて半角で入力してください。
※空白はいりません。
例: 最大値が $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}-4$ で, そのとき $p_k=\dfrac{1}{2}$ の場合 → $143$
