数学の問題一覧
$$nは自然数である$$$$相異なる非負整数x_1,x_2,…,x_nについて$$$$任意のx_i,x_j(1\leq i\leq n,1\leq j \leq n)$$$$に対してとある奇素数pで割った余りが$$$$どれも等しく-2である(x_j,x_i\leq np)$$$$この時以下の式がpで何回割れるか答えよ$$
$$Π_{k=1}^{p}\quad(\sum_{1\leq i <j\leq
n}\quad2(x_ix_j)^k-4n^2 +4^kn) $$
$$ただしΠは相乗を表しΣは総和を表す$$
$$*\sum_{1\leq i <j\leq n}x_ix_jは1\leq i<j\leq nを満たす$$$$すべての整数の組(i,j)についての$$$$x_ix_jの和を表す$$
問題文
$AB=5, AC=7$ なる三角形 $ABC$ について，$A$ から $BC$ に下ろした垂線と円 $ABC$ の交点を $D(\neq A)$，$BC$ の中点を $M$ とします．$\angle AMD=90^{\circ}$ であるとき，$BC$ の長さの四乗を求めてください．
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$，$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると，$$OD=OE, DE=2, BC=11$$ が成り立ちました．線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
問題文
$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．
問題文
$BC=18$ かつ面積が $162$ なる三角形 $ABC$ について，重心を $G$，$G$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると，三角形 $PGC$ の面積が $30$ となりました．$AC$ の長さの二乗を求めてください．
問題文
$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ について，線分 $AB$ 上に点 $D$ をとり，点 $A$ から円 $DBC$ に引いた接線と円 $DBC$ の接点のうち，直線 $DC$ について点 $B$ 側にあるものを $T$ とします．円 $ATC$ と線分 $AB, BC$ の交点をそれぞれ $E(\neq A), P(\neq C)$ とし，直線 $DT$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とすると，直線 $AB$ は $\angle PAQ$ を二等分しました．$AD=7, DC=13$ のとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください．
問題文
正整数 $3$ つの集合 $S$ であって，以下を同時にみたすものは全部でいくつありますか？
- $S$ に属する $3$ 数を十進数表記したときすべて $3$ 桁であり，それぞれの桁に $1, 2, ..., 9$ がすべて $1$ 回ずつ現れる．
- $S$ から相異なる $2$ 数 $a, b$ を選ぶ方法であって，$a + b = 1110$ をみたすものが存在する．
解答形式
半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
問題文
以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
$0$時$0$分〜$23$時$59$分とする時刻$A$時$B$分について、$60A+B,100A+B$が共に平方数となるとき、$A×B$の総和を求めよ。
解答形式
半角数字で解答して下さい。
問題文
$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$，内心を $I$，外接円を $\Gamma$ とします．直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると，$AX=BX$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さを求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a\times b\times c$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。