数学の問題一覧
問題文
以下の値を素数 $2017$ で割った余りを解答してください。ただし、$\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} \left\lfloor\dfrac{3}{7}×2^k\right\rfloor(-1)^{k+1}$
解答形式
非負整数を半角で入力してください．
問題文
赤い音符と青い音符の二種類の音符を横に並べたものを譜面と呼びます．
以下の条件を同時に全て満たすような譜面がいくつあるかを求めてください．
- その譜面の赤い音符と青い音符の合計はちょうど $17$ 個である．
- その譜面の最も左の音符は赤い音符である．
- その譜面の左から $2$ 番目の音符は青い音符である．
- その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
「赤い音符，青い音符，赤い音符」にならない - その譜面から任意の $3$ つの連続する音符を抜き出したとき，それが左から順に
「青い音符，赤い音符，青い音符」にならない
解答形式
非負整数を半角数字で入力し解答してください。
問題文
三角形$ABC$は$|AB|=84$、$|BC|=|CA|=72$を満たす二等辺三角形です。この三角形の垂心を$H$、頂点$A, B, C$から延びる垂線の足をそれぞれ$D,E,F$と置きます。さらに、直線$CF$上に$|DF|=|DG|$を満たす$F$でない点$G$をとります。この時、四角形$DFEG$の面積は互いに素な正整数$p,r$と平方因子を持たない数$q$を用いて$\dfrac{p\sqrt{q}}{r}$と表されるので、$p+q+r$を解答してください。ただし、$|AB|$で$AB$間の距離を表すものとします。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
正整数 $N$ について，次の $2$ つのことがわかっています．
- $N$ を素因数分解すると $N=3^2 \times 11 \times 31 \times 2,354,911,118,533$ である.
ただし，「 $,$ 」は $3$ 桁ごとの区切りです． - $N$ の各桁に現れる数字は $2$ 種類あり，それらを $a,b\ (a \gt b)$ としたとき，$a$ と $b$ の現れる回数は等しい.
$10a+b$ の値を解答してください.
解答形式
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ があり，以下が成り立っています：
$$AB = 7 , \angle A + 2\angle C = 60^{ \circ } .$$
いま，辺 $BC$ 上に $\angle CAP = 3\angle BAP$ をみたす点 $P$ をとり，さらに辺 $AC$ 上に $\angle APQ = 2\angle ACB$ をみたす点 $Q$ をとったところ，$BQ = 2$ が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{ a }{ b }$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
$A,B$を全ての要素が$2$以上$2024$以下の自然数からなる集合で$A$と$B$の和集合の要素数が$2023$個であるものとします。$A,B$から要素を自由に$1$つずつ選ぶとき、どのように要素を選んでもその$2$つの数の最大公約数が$1$になるような$A,B$の組$(A,B)$の個数を求めてください。ただし、必要ならインターネットにある素数表を検索して用いても構いません。また、空集合も条件を満たすものとしてください。
問題を少し変更いたしました。
解答形式
答えは正の整数$n$を用いて$2^n$と表せますから$n$を半角で1行目に入力してください。