数学の問題一覧

問題文

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外心を$O$, $\angle BAC$の二等分線と直線$BO$の交点を$D$とします.
円$ABC$について弧$BAC$の中点を$M$とし, 直線$AB$と直線$CM$の交点を$E$とすると以下が成り立ちました.
$$
\angle ADE=\angle AME,　AE=25,　BE=96
$$
このとき, 辺$AC$の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\Large\frac{a}{b}$と表せるので $a+b$ の値を解答してください.

半径が$14$の円$Ω$に内接し, $AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, $A$傍心を$J$とする. 辺$AJ$の垂直二等分線と$Ω$の交点の内, 点$C$側にあるものを$D$, $B$側にあるものを$E$とし, 三角形$JBC$の外接円と三角形$JDE$の外接円の交点を$X(\neq J)$としたところ, 以下が成り立った.
$$
CX:CD=8:3,　AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

鋭角三角形$ABC$について, 外接円を$Ω$, 垂心を$H$, 辺$BC$の中点を$M$, 点$H$から直線$AM$に下ろした垂線の足を$K$とします. 直線$BH, CH$と$Ω$の交点をそれぞれ$E(\neq B), F(\neq C)$とし, 線分$EF$の中点を$N$とします. さらに, 辺$AC$上(端点を除く)に点$P$をとると以下が成立しました.
$$
\triangle FNP \backsim \triangle AMC,　\angle PFA=\angle BAM,　BK=5
$$

このとき, 線分$PE$の長さの二乗としてありうる値の総和を求めてください.

辺$AB$と辺$BC$と辺$CD$の長さが等しい凸四角形$ABCD$について, 辺$BC$と辺$AD$の中点をそれぞれ$M$, $N$としたところ, 以下が成り立ちました.
$$
\angle BAD=75°,　\angle CDA=45°,　MN=3
$$

このとき, 四角形$ABCD$の面積は正整数$a, b$を用いて$a+\sqrt{b}$ と表すことができるので, $a+b$ の値を求めてください.

外接円を$\Omega$, 内心を$I$とする鋭角三角形$ABC$について, 円$Γ$は円$\Omega$に内接し, 辺$AC$, 辺$BC$にも接しています. 円$\Gamma$と円$\Omega$, 辺$AC$との接点をそれぞれ$T, D$とし, 直線$TD$と円$\Omega$の交点を$M(\neq T)$, 直線$AI$との交点を$F$, 直線$TI$と直線$AB$, 円$MDI$の交点をそれぞれ$G$, $K(\neq I)$とします. さらに, 円$MDI$内に点$H$をとったところ, これは円$TAK$上にありました. また, 円$GHK$と直線$MK$の交点を$J(\neq K)$とすると, 直線$GJ$, 直線$AK$, 円$TAD$が一点で交わったのでこれを$L$とします.
$$
FG=FH,　MJ:KJ=1:3,　LJ=30
$$
が成立するとき, 線分$IK$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

$4999$ 以下の素数の組 $(p,q,r,s)$ が以下の式を満たしているとき，積 $pqrs$ が取りうる値の総和を解答してください．
$$ pqr+pqs-p^2 = q^2+2 $$

解答形式

正の整数を半角で解答．

問題文

以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_n$ は $0$ 以上の整数である．
・すべての正整数 $n$ に対し，$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす．
・すべての正整数 $n$ に対し，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる（球が1つも入っていない箱があってもよい）．
$i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする．
入れ方すべてについて，積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し，その和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

1辺が10の正三角形ABCがある.
線分AB上に $AD=3$を満たす点D, 線分BC上に $BE=3$を満たす点Eがある.
線分DEの垂直二等分線と直線ACの交点を $F$とし, 三角形ABCの外接円と交わる点のうち, 直線ABに関して $C$ と反対側にある点を $K$ とする.
直線EFと直線CKの交点を $L$とするとき, $EL$の長さを求めよ. なお, 答えは $\sqrt{a}-b$で表されるため, $a+b$を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする.
全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

格子点上を，点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ，点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む．
このとき，2 本の経路が交差しない（頂点共有もしない）組の総数を求めよ．

解答形式

例）半角数字で入力してください。