数学の問題一覧
公開日時: 2025年3月7日23:08 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
鋭角三角形 $ABC$ において，外心を $O$，垂心を $H$ とし，$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．直線 $AO$ と三角形 $BHC$ の外接円が三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ で交わっており，直線 $EF,DP$ の交点を $X$ とすると，
$$PX=8,PH=3,\angle BAD=\angle FXD$$
が成立しました．
このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．
解答形式
例）半角数字で解答してください．
公開日時: 2025年3月7日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$∠A$が鋭角であり$AB＝AD，BC＝CD＝7，∠ABC＝∠CDA＝90°$を満たす四角形$ABCD$がある．線分$AB$，線分$AD$の中点をそれぞれ$M,N$とし，直線$MN$と直線$BC$の交点を$P$とすると$AP＝24$であったので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年3月7日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB＜BC$なる鋭角三角形$ABC$があり，$B$から$AC$におろした垂線の足を$D$とし，線分$BC$の中点を$M$とする．三角形$ABC$の外接円上に点$E,F$をとると$4$点$EDMF$はこの順に同一直線上に存在し，$DE＝6，MF＝8，CD＝15$であったので線分$AB$の長さの$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年3月7日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB＜AC$の三角形$ABC$があり，内心を$I$，直線$AI$と三角形$ABC$の外接円の交点を$M(≠A)$とする．$∠A$内の傍接円と辺$BC$の共有点を$P$としたとき$4$点$BIPM$は共円であり，$BI＝5，BC＝11$であった．このとき$IP$の長さは正の整数$a,b$と平方因子を持たない正の整数$c$を用いて，$a−b \sqrt{c}$と表せるので$a+b+c$を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年3月7日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり
$AB \cdot CH＝30，BC \cdot AH＝28，CA \cdot BH＝26$
が成立したので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
公開日時: 2025年3月4日16:28 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB<AC$ の鋭角三角形 $ABC$ について，$\angle{BAC}$ の二等分線と線分 $BC$ との交点を $D$ とし，点 $D$ から線分 $AB,AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $F,E$ としたとき，以下が成立しました．$$AE=4,CE=2,CD=2\sqrt{2}$$三角形 $ABC,AEF$ の外接円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2$ ，その中心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし，$\omega_1$ と $\omega_2$ との交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $PO_2$ と直線 $DO_1$ との交点を $Q$ としたとき，線分 $PQ$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年3月4日16:28 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$r=6,R=13,BC=24$$直線 $AI$ と直線 $HO$ との交点を $D$ としたとき，線分 $OD$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
例）半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年3月4日16:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$\angle{BAC}=60^\circ,r=4,R=10$$このとき，三角形 $HIO$ の面積の $2$ 乗の値を求めてください．
解答形式
半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年3月4日16:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$\angle{AIO}=90^\circ,r=7,R=15$$このとき，四角形 $OIBC$ の面積は最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,e$ と平方因子を持たない正整数 $b,d$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せるので，$a+b+c+d+e$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年3月4日16:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
中心を $O_1,O_2$ とする $2$ 円 $\omega_1,\omega_2$ が $2$ 点 $A,B$ で交わっています．半直線 $O_1A$ と $\omega_2$ が点 $A$ 以外の点で交わったのでその交点を $C$ とし，半直線 $O_2A$ と $\omega_1$ が点 $A$ 以外の点で交わったのでその交点を $D$ とすると，以下が成立しました．$$O_1A=3,O_2A=AB=2$$このとき，$CD$ の長さは最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,e$ と平方因子を持たない正整数
$b,d$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せるので，$abcde$ を解答してください．
解答形式
例）半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年3月4日16:26 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
四角形 $ABCD$ があり，半直線 $BA,CD$ が点 $E$ ，半直線 $AD,BC$ が点 $F$ ，半直線 $CA,FE$ が点 $G$ でそれぞれ交わっています．線分 $BE$ を $BE:AB$ に外分する点を $H$ としたとき、以下が成立しました．$$GB\parallel EC,BE\cdot BF=90,AB\cdot BC\cdot CF\cdot AE=320$$このとき，四角形 $BGHF$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の $\displaystyle\frac{a}{b}$ 倍（ $a,b$ は互いに素な正整数）となるので，$a+b$ を解答してください．
解答形式
例）半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年3月3日19:25 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
重心を$G$とする三角形$ABC$において，その外接円を$Γ$とし，$A$を通って$BC$に垂直な直線と$Γ$が再び交わる点を$D$とする.また$B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$E,F$とし，三角形$DEF$の外接円と$Γ$の交点のうち，$D$でないほうを$P$とする.$AB,AC$の中点をそれぞれ$M,N$としたとき，$3$直線$MN,EF,AG$は$1$点で交わり，$$AB=3 AP=4$$が成立した.このとき$BC^2$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a+b$の値を解答して下さい.
解答形式
半角で解答して下さい.