数学の問題一覧
問題文
三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし，$DP$と$MN$の交点を$Q$，三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき，$$AN＝10 AB＝9 NR＝3$$が成立した.このとき，$AC²$の値を解答してください.
解答形式
半角で解答してください.
問題文
$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.
解答形式
すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。
問題文
四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。
$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$
この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。
解答形式
半角数字で答えをそのまま入力。
余談
問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。
Tex初めて使いました。
問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…
問題文
$ω=e^{\frac{2πi}{7}}$を原始 7 乗根とする$A=ω+ω 2 +ω 4$および$B=ω 3 +ω 5 +ω 6$ とおくとき、$A^3 +B^3$ の値を求めよ。
解答形式
半角英数字入力してください。
問題文
$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
垂心を$H$とする鋭角三角形$ABC$があり
$AB \cdot CH＝30，BC \cdot AH＝28，CA \cdot BH＝26$
が成立したので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB＜AC$の三角形$ABC$があり，内心を$I$，直線$AI$と三角形$ABC$の外接円の交点を$M(≠A)$とする．$∠A$内の傍接円と辺$BC$の共有点を$P$としたとき$4$点$BIPM$は共円であり，$BI＝5，BC＝11$であった．このとき$IP$の長さは正の整数$a,b$と平方因子を持たない正の整数$c$を用いて，$a−b \sqrt{c}$と表せるので$a+b+c$を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$∠A$が鋭角であり$AB＝AD，BC＝CD＝7，∠ABC＝∠CDA＝90°$を満たす四角形$ABCD$がある．線分$AB$，線分$AD$の中点をそれぞれ$M,N$とし，直線$MN$と直線$BC$の交点を$P$とすると$AP＝24$であったので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．