数学の問題一覧
問題文
$AB＜BC$なる鋭角三角形$ABC$があり，$B$から$AC$におろした垂線の足を$D$とし，線分$BC$の中点を$M$とする．三角形$ABC$の外接円上に点$E,F$をとると$4$点$EDMF$はこの順に同一直線上に存在し，$DE＝6，MF＝8，CD＝15$であったので線分$AB$の長さの$2$乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，$\angle{BAC}$ の二等分線と線分 $BC$ との交点を $D$ とし，点 $D$ から線分 $AB,AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $F,E$ としたとき，以下が成立しました．$$AE=4,CE=2,CD=2\sqrt{2}$$三角形 $ABC,AEF$ の外接円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2$ ，その中心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし，$\omega_1$ と $\omega_2$ との交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $PO_2$ と直線 $DO_1$ との交点を $Q$ としたとき，線分 $PQ$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$r=6,R=13,BC=24$$直線 $AI$ と直線 $HO$ との交点を $D$ としたとき，線分 $OD$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．
解答形式
例）半角数字で入力してください。
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$\angle{BAC}=60^\circ,r=4,R=10$$このとき，三角形 $HIO$ の面積の $2$ 乗の値を求めてください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました．$$\angle{AIO}=90^\circ,r=7,R=15$$このとき，四角形 $OIBC$ の面積は最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,e$ と平方因子を持たない正整数 $b,d$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せるので，$a+b+c+d+e$ を解答してください．
解答形式
半角数字で入力してください。
問題文
中心を $O_1,O_2$ とする $2$ 円 $\omega_1,\omega_2$ が $2$ 点 $A,B$ で交わっています．半直線 $O_1A$ と $\omega_2$ が点 $A$ 以外の点で交わったのでその交点を $C$ とし，半直線 $O_2A$ と $\omega_1$ が点 $A$ 以外の点で交わったのでその交点を $D$ とすると，以下が成立しました．$$O_1A=3,O_2A=AB=2$$このとき，$CD$ の長さは最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,e$ と平方因子を持たない正整数
$b,d$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せるので，$abcde$ を解答してください．
解答形式
例）半角数字で入力してください。
問題文
四角形 $ABCD$ があり，半直線 $BA,CD$ が点 $E$ ，半直線 $AD,BC$ が点 $F$ ，半直線 $CA,FE$ が点 $G$ でそれぞれ交わっています．線分 $BE$ を $BE:AB$ に外分する点を $H$ としたとき，以下が成立しました．$$GB\parallel EC,BE\cdot BF=90,AB\cdot BC\cdot CF\cdot AE=320$$このとき，四角形 $BGHF$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の $\displaystyle\frac{a}{b}$ 倍（ $a,b$ は互いに素な正整数）となるので，$a+b$ を解答してください．
解答形式
例）半角数字で入力してください。
問題文
重心を$G$とする三角形$ABC$において，その外接円を$Γ$とし，$A$を通って$BC$に垂直な直線と$Γ$が再び交わる点を$D$とする.また$B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$E,F$とし，三角形$DEF$の外接円と$Γ$の交点のうち，$D$でないほうを$P$とする.$AB,AC$の中点をそれぞれ$M,N$としたとき，$3$直線$MN,EF,AG$は$1$点で交わり，$$AB=3 AP=4$$が成立した.このとき$BC^2$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a+b$の値を解答して下さい.
解答形式
半角で解答して下さい.
問題文
縦に $2$ マス，横に $20$ マス並んだ $2 \times 20$ のマス目に対して，以下の $2$ つの条件をともに満たすように各マスに $0$ 以上 $25$ 以下の整数を書き込む方法は $S$ 通りあるので，$S$ を割り切る素数すべての積を求めてください．ただし，$a_{i,j}$ で上から $i$ 行目，左から $j$ 列目に書き込まれた数字を表します．
・$1 \le j \le 20$ に対して，$a_{2,j} \le a_{1,j}$ ．
・$1 \le i \le 2,1 \le j \le 19$ に対して，$a_{i,j+1} \le a_{i,j}$ ．
解答形式
半角数字で解答してください．
問題文
にゃんこ大戦争には，$10$ 体の基本キャラが存在します．そのキャラを図鑑と同じ順番で，$1, 2, \ldots , 10$ と番号を付けます．今、$1$ 番のキャラ(ネコ)が $512$ 体一列に並んでおり，以下の操作を $511$ 回行います．
- 番号がともに $n$ である隣り合う $2$ 体を選び，その $2$ 体を取り除いて番号が $n+1$ であるキャラを同じところに $1$ 体入れる．
最終的に，番号が $10$ であるキャラ(ネコ超人)が残るような、操作の行い方(順番)は $N$ 通りあります．$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．
解答形式
答えは正の整数値になるので、それを半角数字で解答してください。
