数学の問題一覧
公開日時: 2024年11月26日23:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
HLMC HLMC001
問題文
点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と，その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています．この正 $169$ 角形の頂点のうち，$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが，それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください．（総和の $2$ 乗ではないことに注意してください．）
公開日時: 2024年11月26日23:30 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
HLMC HLMC001
問題文
『猫又おかゆ』の目の前に左右 $1$ 列に $9$ 個のおにぎりが並んでいます．おにぎりの種類は鮭，うめ，おかかの $3$ 種類のうちいずれかです．並んでいるおにぎりについて，『猫又おかゆ』は次のことに気づきました．
- すべての種類のおにぎりがある．
- ある種類のおにぎりは $1$ 個しかない．
- おにぎりの種類が左右対称に並んでいる．
『猫又おかゆ』の目の前にあるおにぎりの種類の並びとして考えられるものは何通りありますか．
解答形式
半角整数で入力してください．
公開日時: 2024年11月26日17:54 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$
解答形式
半角数字で解答して下さい。
公開日時: 2024年11月23日9:12 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
$$nは自然数である$$$$相異なる非負整数x_1,x_2,…,x_nについて$$$$任意のx_i,x_j(1\leq i\leq n,1\leq j \leq n)$$$$に対してとある奇素数pで割った余りが$$$$どれも等しく-2である(x_j,x_i\leq np)$$$$この時以下の式がpで何回割れるか答えよ$$
$$Π_{k=1}^{p}\quad(\sum_{1\leq i <j\leq
n}\quad2(x_ix_j)^k-4n^2 +4^kn) $$
$$ただしΠは相乗を表しΣは総和を表す$$
$$*\sum_{1\leq i <j\leq n}x_ix_jは1\leq i<j\leq nを満たす$$$$すべての整数の組(i,j)についての$$$$x_ix_jの和を表す$$
公開日時: 2024年11月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$，$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると，$$OD=OE, DE=2, BC=11$$ が成り立ちました．線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください．
公開日時: 2024年11月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ について，線分 $AB$ 上に点 $D$ をとり，点 $A$ から円 $DBC$ に引いた接線と円 $DBC$ の接点のうち，直線 $DC$ について点 $B$ 側にあるものを $T$ とします．円 $ATC$ と線分 $AB, BC$ の交点をそれぞれ $E(\neq A), P(\neq C)$ とし，直線 $DT$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とすると，直線 $AB$ は $\angle PAQ$ を二等分しました．$AD=7, DC=13$ のとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください．
公開日時: 2024年11月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．
公開日時: 2024年11月21日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．