数学の問題一覧

問題文

三角形$ABC$について,外心を$O$,垂心を$H$とするとき,

$BC=2026$,$OH=777$,$BC \parallel OH$が成立した.

直線$AC$上に点$D$を,直線$AB$上に点$E$を,$BD=CE=BC$となるようにとる. ($D,E$は$B,C$とは異なる)

このとき，$DE$の長さを求めよ．

解答形式

$DE$の長さは互いに素な自然数$a,b$を用いて

$\sqrt{\frac{a}{b}}$と表されるため，$a+b$の値を半角数字で解答してください．

問題文

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{100}=100$を満たす100個の非負整数の組$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{100}$の全てについて、
$$\frac{1}{a_{1}!a_{2}!a_{3}!...a_{100}!}$$の総和を求めてください。

解答形式

答えが異なる自然数a,bを用いてa^b/b!という形で表されるため、a+bを回答してください。

問題文

平面上に鋭角三角形ABCがある。以下の条件をみたすように点Dを定める。
「$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=2CD^{2}$
　$BC=AD$
　$点Dと点Bは直線ACに関して反対の向きにある$」
ここで線分ACを直径とする円と線分AD,BCとの交点をそれぞれE,Fとおき、
直線ACとEFの交点をPとするとAC=100,EF=90が成立した。
このとき、線分APの長さを求めよ。

解答形式

互いに素な正の整数p,qを用いてp/qと表されるので、p/qと解答してください

問題文

鋭角三角形ABCにおいてAからBCに下ろした垂線の足をDとし, 三角形ABCの外接円と直線ADとの交点のうちAでない方をEとする.
外接円の中心をOとしたとき, 次が成り立った.

OD ⊥ BE
BD = 2, DC = 2√7

外接円の半径が4であるとき, 三角形ABCの面積を求めてください.

解答形式

正整数 a, bを用いてa + √bと表せるので, a + b の値を解答してください.

問題文

$AB=AC$ である直角二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円の劣弧 $AC$ 上に点 $D$ をとります．すると $$AB=\sqrt{666},CD=6$$ が成り立ちました．$BD$ に $A$ から下ろした垂線の足を$H$ とした時，$AH\times BH$ の値を求めて下さい．

解答形式

半角の数字で答えて下さい．

問題文

三角形ABCの
Pを線分AB上にABを2:3に内分するように、
Qを直線BC上にBCを1:2に外分するように、
Rを直線AC上に取ったところ、
P,Q,Rは一直線上にありました
この時、AR/CRの値を求めてください。

解答形式

解答する値は互いに素な自然数(a,b)を用いてa/bと表せるので、a+bの値を求めてください

問題文

円に内接する四角形 $ABCD$ があり，$\angle ABC = 90^\circ$ をみたしている．$2$ 点 $A , C$ を通り直線 $AB$ に接するような円と線分 $BD$ の交点を $E$ とすると，$CD = CE$ が成立した．$BE = 7 , ED = 9$ であるとき，線分 $AB$ の長さの2乗を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB=44,AC=46$ をみたす三角形 $ABC$ があり, $AB,AC$ の中点を $M,N$ とする. 三角形 $ANB$ の外接円と三角形 $AMC$ の外接円の $A$ でない交点を $P$ とすると $P$ が線分 $BC$ 上に存在した.
このときの線分 $BC$ の長さを求めよ

解答形式

$BC^2$ は正の整数値になるので, その値を半角で解答してください

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ $,$ $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし $,BC$ の中点を $M$ とする$.$ 直線 $AM$ 上に $\angle APH=90 ^。$ となる点 $P$ をとり$,$ 直線 $DE$ と直線 $FP$ の交点を $Q$ とする $.$
また $,$ 三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $ABM$ の外接円との交点を$R$ $,$ 三角形$AHC$の外接円と線分 $DE$ の交点を$S$ とする $.$
$$AM:AS=\sqrt{3}:\sqrt{2}　　AQ=11　　QR=7$$
が成り立つとき, $BC$ の長さを求めよ.

解答形式

$BC^2$ は正の整数値になるので,その値を半角で解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $B$ から直線 $AM$ に下した垂線の足を $X$ とすると,$A,X,M$ はこの順にあり
$$AX=9　　XM=2　　\angle{BAM}=\angle{XCB}$$
が成立しました. $AC^2$ を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値になるので,半角で解答してください

AさんとBさんは、黒板をつかって次のようなゲームをします。
ルール
・自分のターンでは、黒板に書かれている$1$以外の正整数を一つ選び、分割を行う。
自分のターン開始時に分割できる数がない場合敗北となる。
・分割...その数を$2$つ以上の正整数の和に分解すること。たとえば、$5$は$(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)$のいずれかに分割される。
はじめ、黒板には$1024$以下の正整数$X,Y,Z$が書かれています。Aさんから操作を開始し、両者が最適戦略をとりつづけるとき、Bさんが勝つような$(X,Y,Z)$の組の個数を求めなさい。

数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。