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数学の問題一覧

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Final 2

2

公開日時: 2025年1月18日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

数列 ${a_n}$ を以下のように定義する。
$\begin{eqnarray} a_1&=&\int_0^1dx\\ a_{n+1}&=&\int_0^{a_n+1}x^{a_n}dx \end{eqnarray}$
このとき、 $\log_{10}(a_5)$ の値を求めよ。

Final 5

4

公開日時: 2025年1月18日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

積分

$a$ は $x$ と独立であるとする。
$x$ の方程式
$(\cos^4x)^{\log_2(a\sin x)+1}=(a\sin2x)^{\log_2(a\sin2x)}$
の $0\leqq x\leqq \frac\pi2$ における解を $y$ とする。
この時、以下の値を求めよ。
$\int_0^1\frac1{\sin^2y}da$

内接円の半径

4

公開日時: 2025年1月16日23:41 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

半径 $3$ の円に内接する六角形 $ABCDEF$ は以下の2つの条件をみたします:

四角形 $ABDE, BCEF,CDFA$ は長方形
周長が $15$

このとき,三角形 $ACE$ の内接円の $\textbf{半径}$ を求めてください。

解答形式

答は非負整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表されるので $a+b$ の値を半角数字で答えてください。

シンプルな幾何

6

公開日時: 2025年1月14日11:32 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり外心を $O$ とする．直線 $BO$ と $AC$ の交点を $D$ とおくと $BC＝BD，DO＝5，AD＝6$ であったので $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

2022文化祭

2

公開日時: 2025年1月13日17:07 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

三角形 $ABC$ について，辺 $BC,CA,AB$ の中点をそれぞれ $D,E,F$ とし，三角形 $ABC, DEF$ の垂心をそれぞれ $H_1, H_2$ とすると，以下が成立しました． $H_1H_2=3\sqrt{3},\quad DH_2=1,\quad \angle{H_1H_2D}=150^{\circ}$ このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗の値を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

数列

1

公開日時: 2025年1月11日19:48 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

問題文

$2a_na_{n+2}+n!a_{n+1}=3a_na_{n+1}+(n+1)!a_n+2a_{n+1}^2,~a_1=1,~a_2=2$ を満たす数列 ${a_n}$ について, $2048$ 以下の正整数 $N$ であって, $2a_N$ が整数となるものはいくつありますか.

解答形式

半角数字で入力してください．

同じ部分が現れる分母が2025の分数

4

公開日時: 2025年1月9日21:24 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

整数問題 西暦問題 2025年問題

${}$ 　西暦2025年問題第7弾です。1月7日にお送りするはずでしたが、問題に不備が見つかり、9日の出題となってしまいました。
　さて、当シリーズのラスト問題は循環小数がテーマです。いくぶん面倒な解法を想定しています。電卓も併用しながらで構いません。じっくりお楽しみください。

解答形式

${}$ 　解答は求める分数の分子のみを入力してください。
（例） $\dfrac{107}{2025}$ → $\color{blue}{107}$

見慣れない数列漸化式（再投稿）

0

Ys_math_and_phys

公開日時: 2025年1月7日4:23 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

数学B

問題文

数列 { ${a_n}$ } を以下のように定義する。

$a_{n+3} = a_{n+2}+ a_{n+1} - a_n,\quad a_1 = \alpha,\ a_2 = \beta, a_3 = \gamma$

ただし、 $\alpha,\ \beta,\ \gamma\$ は実数である。

$n$ が奇数のとき、 $a_n$ は $n,\ \alpha,\ \gamma\$ のみで決定する（つまり $\ \beta\$ に依らない）ことを示せ。
この数列 { ${a_n}$ } の一般項を求めよ。

もし可能なら...

この問題について感想をくれると嬉しいです。例えば、以下の観点でコメント・批評があると嬉しいです。

解ける学生のレベルは？
入試として適切か？
教材として適切か？
各設問の面白さ（改善点）は？etc..

末尾が2025の平方数

12

公開日時: 2025年1月6日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

整数問題 西暦問題 2025年問題

${}$ 　西暦2025年問題第6弾です。一見本格的な整数問題ですが、あいかわらず仕掛けを施しています。独特な時味の当問をどうぞお楽しみください。

解答形式

${}$ 　解答は求める項の値をそのまま入力してください。
（例）第10項＝106 → $\color{blue}{106}$

Semi Final 4

6

公開日時: 2025年1月6日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

積分

$\int^\sqrt2_{-\sqrt2}\sin x\cos x\{\tan x+\tan{(\frac{\pi}{2}-x)}\}dx$

Semi Final 1

7

公開日時: 2025年1月6日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

積分

$\int-\frac1{x^2}dx$

Semi Final 2

7

公開日時: 2025年1月6日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ

積分

$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(5^x-5^{-x})dx$

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