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数学の問題一覧

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整数問題

Ryomanic 自動ジャッジ 難易度:
5日前

7

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許すとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。
(似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)

解答形式

互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため
p+qを解答してください。

整数問題

Ryomanic 自動ジャッジ 難易度:
5日前

10

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許さないとき、7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。

解答形式

互いに素な正整数q,pを用いて
p/q と表せるため、p+qを解答してください。

第2回琥珀杯 C

Kohaku 自動ジャッジ 難易度:
6日前

9

10nn998で割った余りが512となる最小の自然数nを求めよ。

第2回琥珀杯 A

Kohaku 自動ジャッジ 難易度:
6日前

4

問題文

C1:x2+(y6)2=2及び円C1x軸について対称な円C2をとる。さらに、2点(0,62),(0,6+2)を通りx軸に垂直で、原点を中心とする円C3をとり、円C2の中心を通りxy平面に垂直な直線をlとする。円C3を直線l周りに360°回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答形式

正整数a,c,eと平方因子をもたない正整数b,dを用いて(abcd)πeと表せるので、a+b+c+d+eを解答してください。

A.

JoeFight 採点者ジャッジ 難易度:
6日前

5

問題文

以下の条件を満たすような正整数a,b,cが存在するので,そのようなa,b,cの組を1つ答えてください.
・ある奇素数p,正整数Nが存在し,ある正整数nが存在してan+bn+cnpで割り切れ,かつ任意の正整数nに対してan+bn+cnpNで割り切れない.

解答形式

(a,b,c)と,この組に対して条件を満たすp1つ用いて「(a,b,c)、条件を満たすpは~~」というように解答してください.

得点について

・誤答の場合0点.多少の書式の違いは認めます.

・正答の場合,pkk番目に小さい奇素数としたときに任意のk=1,2,...sに対して「ある正整数Nが存在し,ある正整数nが存在してan+bn+cnpkで割り切れ,かつ任意の正整数nに対してan+bn+cnpNkで割り切れない.」が成り立つようなsの参加者全体中の最大値をx,あなたの解答に対する値をyとしたとき100yx以上の整数の内最小のものをあなたの得点とします.ただしこの値が0に等しい場合は1点とします.

・複数の提出があった場合は最後の提出のみを判定します.

第2回琥珀杯 E

Kohaku 自動ジャッジ 難易度:
6日前

6

問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)xを定義域とする関数f(x)を、xの循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。f(533)=15,f(43333)=12といった具合である。
正整数nに対して、n<m<20252025なる正整数mであって、nの値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
f(nm)=(m2)n
必要ならば、0.30102<log102<0.30103, 0.47712<log103<0.47713
を用いてよい。

第2回琥珀杯 B

Kohaku 自動ジャッジ 難易度:
6日前

7

問題文

AB=1の正十二角形ABCDEFGHIJKLがある。KDCJAFDKAFDIDIEJAHEJAHCJの交点を、それぞれM,N,O,P,Q,Rとする。六角形MNOPQRの面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数a,b,c及び平方因子をもたない正整数dを用いて、bcdaと表せます。a+b+c+dを解答してください。

第2回琥珀杯 D

Kohaku 自動ジャッジ 難易度:
6日前

6

交わらない2O1,O2は直線mに同じ側で接しており、その反対側に交わらない2O3,O4が直線mに接している。円Ox(x=1,2,3,4)の半径をx、直線mとの接点をPxとすると、点P1,P4,P2,P3がこの順に並んだ。P1P4=P2P3=5,P2P4=3のとき、四角形O1O2O3O4の面積を求めよ。

問題

Furina 自動ジャッジ 難易度:
6日前

7

問題文

AB<AC なる三角形 ABC において,外心を O,内心を I とします.また,三角形 ABC の内接円と辺 BC の接点を D とします.さらに,I を通り直線 BC に平行な直線と直線 AD との交点を P とすると,以下が成立しました.
・直線 AD と直線 IO は直交する.
AP=15,DP=8
AI の長さの 2 乗は互いに素な正整数 a,b を用いて ba と表せます.
 ところで,AB=a,AC=(b mod a) なる三角形 ABC の内心を I,内接円 ω と辺 CA,AB との接点をそれぞれ E,F とします.三角形 ABE の外接円と三角形 ACF の外接円が ω 上で交わっているとき,辺 BC の長さを求めてください.ただし,求める長さは,正整数 c,d を用いて cd と表せます.ただし,(b mod a)ba で割った余りを表します.
 ところで,n=d2c4 とします.Furinaくんは,以下のような問題Xを作りましたが,数値設定に悩んでいます.
問題XXY=n,YZ=p,ZX=q なる三角形 XYZ の内心を X 内の傍心を とします. の長さを求めてください.
 Furinaくんは,解答形式を奇麗にしたいため,2 が正整数になるようにしたく,さらに 2p で割り切れないようにしたいといいます.このようなことが可能な奇素数の組 (p,q) すべてについて,p+q の総積を求めてください.

追記 A 内の傍心とありましたが,これは X 内の傍心のことです.現在は訂正されています.

解答形式

半角整数値で解答してください.

問題

noppi_kun 自動ジャッジ 難易度:
6日前

14

問題文

鋭角三三三角形 ABCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC において,その外心を O,垂心を H,内接円を ω としたとき,O,H はともに ω 上にあり,ω の半径は 1 であった.
この条件下で線分 OH の長さとしてありうる値の総積を xxxxxxxxxx とする.xxxxxxxxxx の最小多項式を P として,|P()| の値を解答せよ.ただし,xxxxxxxxxx が最小多項式をもつことが保証される.

解答形式

半角数字を用いて解答せよ.解答すべき値が $$ でないことは保証される.

Death Game

simasima 自動ジャッジ 難易度:
6日前

41

問題文

左から右に一列に並んだ n 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
Aliceが先手でそれ以降は交互に手番を行います。
各手番のプレイヤーは隣り合う 2 つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その 2 つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。

例: n=3 の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。

Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...

あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は n=333 です。あなたが先手か後手を選んでください。

解答形式

あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は 5000000000000000 点になります。

提出制限

この問題の提出制限は 1 回です。

Go to Heaven

simasima 自動ジャッジ 難易度:
6日前

35

問題文

100k=131001001k3
2 で割った余りはいくつですか?

解答形式

非負整数で解答してください。

提出制限

この問題の提出制限は 1 回です。