数学の問題一覧

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3日前

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問題文

問題文を入タイトル:立方数の一歩手前と素数反転(競技)

3桁の正の整数 $n$ が次の条件を満たす:

  1. $n+1$ は完全立方数である。
  2. $n$ は 7 の倍数である。
  3. $n$ の十進表記を逆から読んで得られる整数(反転数)が素数である。

このような $n$ を求めなさい。
(解答は整数を1つ、例:123
力してください

解答形式

例)ひらがなで入力してください。


タイトル:三条件で定まる点と最短距離条件(大学レベル)

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(12,0)$、点 $C(4,9)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとする:

  1. 距離比 $\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi^3$(ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$)
  2. 角度条件 $\angle APC = 45^\circ$
  3. 直線 $BC$ からの距離が最小となる位置を選ぶ。

点 $P$ の座標を求めなさい。
(解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例:1.23, 4.56
問題文
問題文を入力してください

解答形式

例)ひらがなで入力してください。


問題文タイトル:三条件で定まる点と魂面積比(上級・II)

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(10,0)$、点 $C(4,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>5$ とする:

  1. 距離比 $\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$ (ただし $\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$)
  2. 角度条件 $\angle BPC = 120^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
(解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例:1.23, 4.56

問題文を入力してください

解答形式

例)ひらがなで入力してください。

三条件で定まる点と魂比率

xxxxx119 自動ジャッジ 難易度:
3日前

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問題タイトル:三条件で定まる点と魂比率(上級)

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(8,0)$、点 $C(2,6)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の条件を満たすものとし、解の一意性のため $y>0$ とする:

  1. 距離比 $\displaystyle \frac{AP}{BP}=\phi$ (ただし $\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$)
  2. 角度条件 $\angle APC = 60^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
(解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例:1.23, 4.56

問題文を入力してください

解答形式

例)ひらがなで入力してください。

二条件で定まる点と魂比率

xxxxx119 自動ジャッジ 難易度:
3日前

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タイトル:二条件で定まる点と魂比率

平面上に、点 $A(0,0)$、点 $B(6,0)$、点 $C(0,8)$ がある。
点 $P(x,y)$ は次の2条件を満たすものとし、ただし一意性のため $y>4$ とする:

  1. $AP=BP$
  2. $\angle APC=90^\circ$

点 $P$ の座標を求めなさい。
(解答は「x, y」の順に小数第2位まで。例:1.23, 4.56

OMCE017E 原案(300くらい)

Nyarutann 自動ジャッジ 難易度:
3日前

2

問題文

$i=1, 2, \ldots, 999$ に対して,数 $i$ が書かれたカードがそれぞれ $1001$ 枚あり,同じ数が書かれたカードは区別しないものとします.これらを左右 $1$ 列に並べる方法であって,次の条件を満たすカード $X$ がちょうど $1$ 枚あるようなものが $N$ 通りあるものとします.

  • カード $X$ は一番右のカードではない

  • カード $X$ に書かれた数は,カード $X$ の右隣のカードに書かれた数より大きい

$N$ を $997$ で割った余りを求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

三角関数

tan 自動ジャッジ 難易度:
6日前

1

問題文

$\alpha$を$0<$$\alpha$$<\frac{\pi}{6}$をみたす実数とします。
tan$\alpha$ , tan$2\alpha$ , tan$3\alpha$ がこの順に等比数列をなすような$\alpha$の値は$\frac{\pi}{n}$の形で表されます。$n$を答えてください。

解答形式

半角数字で答えてください

素因数分解だよ

udonoisi 自動ジャッジ 難易度:
7日前

8

問題文

$56076923$ の素因数の総和を求めてください.
ただし, 重複する素因数は異なるものとして考えます.

解答形式

例)非負整数を答えてください.


問題文

以下の問いに答えよ.(自然数$n$について,$n!$ は,$1$ から $n$ までの自然数をすべてかけた値を表す.ただし$0!=1$とする.)

  1. $r^m=\frac{r^m-r^{m+1}}{1-r}$ という式変形を用いて,$s<t$ を満たす自然数組 $(s,t)$ と, $r<1$ を満たす実数 $r$ について,$$r^s+r^{s+1}+\cdots+r^t=\frac{r^s-r^{t+1}}{1-r}$$ となることを示せ.

  2. 自然数組 $(a,i)$ について $a^i < i!$ が成立するなら,$i$ 以上の任意の自然数 $j$ で $$a^j < j!$$ となることを示せ.

  3. 自然数組 $(a,i,k,n)$ について,$f(k)=k!-a^k$ ,$g(k)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{k!}$ とする.
    $i<n$ ,$f(i)> 0$ を満たすとき,$$g(n)< g(i-1)+\frac{1}{a^i-a^{i-1}}-\frac{1}{a-1}\left( \frac{1}{a} \right)^n$$となることを示せ.

  4. $n>4$ を満たす自然数 $n$ について,$$g(n)<\frac{67}{24}$$ となることを示せ.

解答形式

私に伝わる程度でよいので、軽めに記述してください。

ヒントの内容

  1. 「3.」のヒント
  2. 「4.」のヒント

体積計算

Yanto 採点者ジャッジ 難易度:
10日前

1

xyz空間において、xy平面上の
線分L:{y=-1, 0<x<1}上の各点から、zx平面上の
直線M: z=x tan(a) [0<a<π/2] に垂線を下ろす。aが動いて、垂線全体が通
過する領域のうち、
y<0 かつ 0<z の領域の体積を求めよう。

解答形式

答えのみ

PDC008.5 (H)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度:
14日前

22

問題文

正の整数 $n$ について,$f(n)$ を $_n\mathrm{C}_k$ が奇数であるような,$0\leq k\leq n$ を満たす整数 $k$ の個数とする.$$f(a)^2+4f(b)=f(c)^3+4$$ かつ $a+b+c=2047$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつ存在するか?

PDC008.5 (F)

pomodor_ap 自動ジャッジ 難易度:
14日前

17

問題文

任意の正の整数 $m, n(m\leq n)$ について $\displaystyle |\sum_{i=m}^{n} a_i| \leq 2$
が成り立つような整数列 $a_i (i\geq 1)$ について,$(a_1, a_2, …, a_{100})$ としてありうる組は $N$ 個存在する.$N$ を素数 $97$ で割った余りを求めよ.

訂正: 「非負整数列」と誤りがありましたが,正しくは整数列です.申し訳ありません.