以下の条件を満たすような正整数a,b,cが存在するので,そのようなa,b,cの組を1つ答えてください.
・ある奇素数p,正整数Nが存在し,ある正整数nが存在してan+bn+cnがpで割り切れ,かつ任意の正整数nに対してan+bn+cnはpNで割り切れない.
(a,b,c)と,この組に対して条件を満たすpを1つ用いて「(a,b,c)、条件を満たすpは~~」というように解答してください.
・誤答の場合0点.多少の書式の違いは認めます.
・正答の場合,pkをk番目に小さい奇素数としたときに任意のk=1,2,...sに対して「ある正整数Nが存在し,ある正整数nが存在してan+bn+cnがpkで割り切れ,かつ任意の正整数nに対してan+bn+cnはpNkで割り切れない.」が成り立つようなsの参加者全体中の最大値をx,あなたの解答に対する値をyとしたとき100yx以上の整数の内最小のものをあなたの得点とします.ただしこの値が0に等しい場合は1点とします.
・複数の提出があった場合は最後の提出のみを判定します.
AB<AC なる三角形 ABC において,外心を O,内心を I とします.また,三角形 ABC の内接円と辺 BC の接点を D とします.さらに,I を通り直線 BC に平行な直線と直線 AD との交点を P とすると,以下が成立しました.
・直線 AD と直線 IO は直交する.
・AP=15,DP=8
AI の長さの 2 乗は互いに素な正整数 a,b を用いて ba と表せます.
ところで,AB=a,AC=(b mod a) なる三角形 ABC の内心を I,内接円 ω と辺 CA,AB との接点をそれぞれ E,F とします.三角形 ABE の外接円と三角形 ACF の外接円が ω 上で交わっているとき,辺 BC の長さを求めてください.ただし,求める長さは,正整数 c,d を用いて c−√d と表せます.ただし,(b mod a) で b を a で割った余りを表します.
ところで,n=d−2c−4 とします.Furinaくんは,以下のような問題Xを作りましたが,数値設定に悩んでいます.
問題X:XY=n,YZ=p,ZX=q なる三角形 XYZ の内心を ぴ,∠X 内の傍心を か とします.ぴか の長さを求めてください.
Furinaくんは,解答形式を奇麗にしたいため,ぴか2 が正整数になるようにしたく,さらに ぴか2 が p で割り切れないようにしたいといいます.このようなことが可能な奇素数の組 (p,q) すべてについて,p+q の総積を求めてください.
追記 ∠A 内の傍心とありましたが,これは ∠X 内の傍心のことです.現在は訂正されています.
半角整数値で解答してください.
鋭角三三三角形 ABCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC において,その外心を O,垂心を H,内接円を ω としたとき,O,H はともに ω 上にあり,ω の半径は 1 であった.
この条件下で線分 OH の長さとしてありうる値の総積を xxxxxxxxxx とする.xxxxxxxxxx の最小多項式を P として,|P()| の値を解答せよ.ただし,xxxxxxxxxx が最小多項式をもつことが保証される.
半角数字を用いて解答せよ.解答すべき値が $$ でないことは保証される.
左から右に一列に並んだ n 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
Aliceが先手でそれ以降は交互に手番を行います。
各手番のプレイヤーは隣り合う 2 つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その 2 つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。
例: n=3 の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。
Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...
あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は n=333 です。あなたが先手か後手を選んでください。
あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は −5000000000000000 点になります。
この問題の提出制限は 1 回です。
100∑k=1⌊3√1001001−k3⌋
を 2 で割った余りはいくつですか?
非負整数で解答してください。
この問題の提出制限は 1 回です。