数学の問題一覧

問題文

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\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n \frac{3k^2+17k+7}{k^4+2k^3+k^2}=\int_{1}^{n+1}f(x) \space dx
\end{eqnarray}
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を満たす有理式f(x)を1つを求めてください。
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解答形式

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半角で入力してください。
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問題文

$AB \lt AC$ なる三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ とし，線分 $BC$ 上に点 $D$ を $BD \gt CD$ となるように取ります． $B,C$ から直線 $AD$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $X,Y$ とし， $X$ を通り直線 $AB$ に平行な直線と $Y$ を通り直線 $AC$ に平行な直線の交点を $Z$ とすると，三角形 $XYZ$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円は点 $T$ で接しました．また，直線 $BC$ について $O$ と対称な点を $S$ とすると，以下が成り立ちました．
$$ AS:AO:OD = 7:5:2$$このとき， $\dfrac{AT}{AO}$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

問題文

一辺の長さが $68$ の正三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり，$D$ から $AB,AC$ に降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とする．$BE=14$ が成り立つとき，線分 $CF$ の長さを求めよ．

問題文

$14\times 14$ のマス目に以下のように整数を書き込む．ただし，左から $m$, 上から $n$ 番目のマスを $(m,n)$ で表すものとする．

• $(1,1)$ に $1$ を，$(1,2)$ と $(2,1)$ に $2$ を書き込む．
• $k\geq 3$ について，すべてのマスに整数が書き込まれるまで以下を繰り返す: $k-2$ が書き込まれているいずれかのマスと，辺を共有せず頂点のみを共有しているマスであり，まだ整数が書き込まれていないようなものすべてに $k$ を書き込む．

いま，PDC 君は $(m,n)$ にいるとき $(m+1,n), (m,n+1)$ に瞬間移動することができ，またそれ以外の移動をすることができない．あるマスからあるマスへの経路について，全ての訪問したマス（出発地点と到着地点を含む）に書き込まれた数字の総和をスコアとする．
$(1,1)$ から $(14,14)$ まで移動するとき，スコアが最小となるような移動方法はいくつあるか？

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC,CA$ の中点を $M,N$ とし，三角形 $AMN$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円，半直線 $AB$ がそれぞれ $A$ でない点で交わったのでそれぞれを $D, E$ とする．$MD=5, AB=34, BE=7$ が成り立つとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題文

$p^2q+16r=2s^2$ を満たす素数の組 $(p,q,r,s)$ すべてについて，$pqrs$ の総和を解答せよ．

問題文

正の整数 $n$ について，$f(n)$ で $n$ の正の約数であり，$n$ の最小の素因数を素因数に持たないようなもののうち最大のものを表す．例えば，$f(2\times 3^2)=3^2, f(2\times 3\times 5)=3\times 5$ である．ただし，$f(1)=1$ と扱う．
また，$g(n)$ で $n$ の正の約数 $d$ すべてについて $f(d)$ の総和を表す．
このとき，
$$g(2\times 3\times 7\times 11\times 13\times 17)-g(5\times 7\times 11\times 13\times 17)$$ を求めよ．

問題文

$$x^4-xy^3+y^2=11,　x^3y-y^4+x^2=13$$ を満たす複素数の組 $(x,y)$ について，$\dfrac{y}{x}$ としてありうる値の総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

素数を無限に生成する2次多項式は存在するか。

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ のうち，次の条件を満たすものはいくつありますか？

• $n$ の $k$ 個の正の約数を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_k$ としたとき，任意の $1$ 以上 $k-1$ 以下の整数 $i$ について $d_{i+1}-d_i\leq40$ が成立する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

以下の条件をすべて満たすような正整数 $n$ はいくつありますか？

• $n$ は $3$ の倍数である．

• $2$ 進法で表記した $n$ はちょうど $15$ 桁の数で，そのうち $5$ つの桁の数字が $0$ である．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

ある正の実数 $k$ があり，$x$ についての $4$ 次多項式 $f(x)$ を

$$f(x)=x^4+4kx^3+3kx^2+2kx+k$$

と定めます．方程式 $f(x)=0$ は相異なる $4$ 個の複素数解を持ったのでそれらを $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とし，さらに $x$ についての $4$ 次多項式 $g(x)$ を，$4$ 次の項の係数が $1$ であり，かつ方程式 $g(x)=0$ が $4$ 個の複素数解 $\dfrac{1}{\alpha},\dfrac{1}{\beta},\dfrac{1}{\gamma},\dfrac{1}{\delta}$ を持つように定めます．
$g(6)=2025$ であるとき，$k$ の値を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．