数学の問題一覧

問題文

$m$ を 0 でない実数とする。座標平面上の放物線
$C: y=\dfrac{1}{m}x^{2}$ は次の条件を満たす。

条件：直線 $y=mx+m$ に関して対称な位置にある異なる 2 点 $P, Q$ を放物線 $C$ 上にとることができる。

(1)　$m$ のとりうる範囲を求めよ。

(2)　$m$ が (1) の範囲を動くとき，線分 $PQ$（端点を含む）の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

解答形式

⑵は領域を表す方程式を解答しても良いです。ただし、境界を含むか含まないかについて明記すること。

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，$xy$ 平面上の $O$ を中心とする半径 $1$ の円を考える。
この円を底面とし，点 $A(0,0,2)$ を頂点とする円錐の表面（底面を含む）を $S$ とする。

$(1)$　座標空間内の点 $P$ と点 $Q$ が次の条件$(a)$,$(b)$,$(c)$をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲 $V$ の体積を求めよ。

$(a)$　点 $P$ は $S$ 上にある。

$(b)$　点 $Q$ は $xy$ 平面上にある。

$(c)$　$OP = PQ$

$(2)$　点 $B(1,0,0)$ をとる。$S$ を直線 $AB$ の周りに $1$ 回転して得られる回転体 $W$ の体積を求めよ。

解答形式

$(1)$の解答を$1$行目左端に、$(2)$の解答を$2$行目左端に入力。
ただし、分数や$π$、根号を含む場合次の(入力例)に従うこと。
(入力例) 8/3　π/2　√6π/7　(1+√3)π　(6-√2)/2

問題文

$p$ は $1<p<2$ を満たす実数とする。関数 $f(x)$ は

$$
f(x)
= p x - \frac{1}{x}
\int_{\frac{1}{\sqrt{p}}}^{\sqrt{p}} \lvert f(t) \rvert \, dt
$$

を満たしている。ただし，自然対数の底 $e$ について，$2.7<e<2.8$ である。

$(1)$　関数 $f(x)$ を求めよ。

$(2)$　$p=\sqrt{e}$ とする。$(1)$ で求めた関数 $f(x)$ について，座標平面における $y=f(x)$ のグラフの $x>0$ の部分に点 $A$，$x<0$ の部分に点 $B$ をとる。
線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。

解答形式

特に指定しません。

問題文

$O$ を原点とする座標空間において，$2$ 点 $P, Q$ が次の条件をすべて満たすとき，線分 $PQ$ が通過しうる範囲を $K$ とする。
$K$ の $x^{2}+y^{2}\le 4$ を満たす部分の体積を求めよ。

$(a)$　点 $P$ は平面 $y=0$ 上にある。
$(b)$　$OP = PQ = 2$
$(c)$　線分 $PQ$ は平面 $x=0$ に含まれるか，または平行である。
$(d)$　線分 $PQ$ は $z\ge 0$ を満たす領域に完全に含まれる。

解答形式

特に指定しません。

問題文

$a, b$ を実数とする。複素数 $z$ に対して
$$
f(z)=z^{4}+a z^{3}+b z^{2}+a z+1
$$
とおく。また，方程式 $f(z)=0$ のすべての解は $|z|\le 1$ を満たしている。

$(1)$　点 $(a, b)$ に関する必要十分条件を求めよ。

$(2)$　$f(1+i)$ がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

$(2)$について、$f(1+i)$が動きうる図形を説明すれば可とします。

問題

問題$O$ を原点とする座標空間において，不等式
$$
x^2 + y^2 > 1,\quad z \ge 0
$$
の表す領域を $E$ とする．

また，$1$ 辺の長さが $3$ である立方体（内部を含む）を $S$ とする．

立方体 $S$ が次の（＊）を満たしながら自由に動くとき，立方体 $S$ の通りうる範囲のうち
$z \ge 0$ の部分 $V$ の体積を求めよ．

（＊）立方体 $S$ と領域 $E$ が共有点を持たない．

解答形式

1つの項にして解答
・分数を含む場合
分子/分母　のように解答
※分母に根号を含まない形にすること。
・根号を含む場合
記号「√」を用い、「+」,「-」を含むとき根号の中身全体を()でくくる
　例　√(2+3√2)
・分子、分母が多項式で表される場合
該当する多項式全体を()でくくる
　例　(2+3√2)/2
・πを含む場合　
　例　√2π 「()」は不要
　特に分子にπがあるとき「記号/」の直前にπを記入
　例　3√2π/5、(2+3√2)π/2

問題文

次の連立方程式において、x,yの値を求めよ
ただし、x>yとする
4x²+4x-4y²=-1
x²+6x+6y=61

解答形式

すべて半角でx=◯,y=◯と入力
分数は分子/分母と入力
例　x=1,y=-1/3

問題文

複素数平面上のn個の点z,z^2,z^3,…z^n(z≠+-1)が全て同一円周上にあることの必要十分条件は、|z|=1であることを証明せよ

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とします． $\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，線分 $AD$ 上の点 $S$ が $HS \perp AM$ を満たし，さらに以下が成り立ちました．
$$ AH=10, \quad AS=9, \quad SD=8 $$このとき， $BD^2+CD^2$ の値は $\gcd (a,c)=1 $ なる正の整数 $a,b,c$ を用いて $\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}$ と表せるので， $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

問題文

次を満たす整数係数多項式の組 $(f,g)$ はいくつありますか？
$$f(g(x))=x^6+1　0≦f(0),g(0)≦2025$$

解答形式

条件を満たす組の個数を半角整数で $1$ 行目に入力してください。

問題文

$ $　$0$ 以上 $9$ 以下の整数 $a, b, c, d$ に対し，数列 $(x_0, x_1, ..., x_{1110})$ を次のように定めます：

• $x_0 = a$ である．
• $(x_0, x_1, ..., x_{10})$ は公差 $b$ の等差数列をなす．
• $(x_{10}, x_{11}, ..., x_{110})$ は公差 $c$ の等差数列をなす．
• $(x_{110}, x_{111}, ..., x_{1110})$ は公差 $d$ の等差数列をなす．

$x_{1110}$ のとり得る値の総和を求めて下さい．

解答形式

答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

問題文

$P=122333444455555666666777777788888888999999999 $とする。
$P$を素因数分解せよ。

解答形式

$P$の素因数の総積を半角数字で入力してください。
ただし、この問題は難しい計算をする必要がないことが保証されます。