数学の問題一覧
公開日時: 2025年12月29日5:33 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
問題文
四面体 $\mathrm{ABCD}$ の各辺 $\mathrm{AB\,,AC\,,AD\,,CD\,,DB\,,BC}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P\,,Q\,,R\,,S\,,T\,,U}$ とする$.\,$ 四角形 $\mathrm{PQST\,,QRTU}$ がともに長方形となるとき$,$
$\mathrm{AB^2+CD^2=AC^2+DB^2=AD^2+BC^2}$
となることを示せ$.$
解答形式
簡単な証明をお書きください$.$
公開日時: 2025年12月27日20:43 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
問題文
各桁が奇数のみで表される自然数の逆数からなる級数
$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19}+\frac{1}{31}+\cdots$
の和を $S$ とすると、
$$\sum\limits_{n=1}^{10} \dfrac{1}{n} < S < 2 \sum\limits_{n=1}^{5} \dfrac{1}{2n-1}$$
となることを示せ。
公開日時: 2025年12月27日16:36 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$3$ つの円が互いに外接し$,\,$ かつ各円が直線 $l$ に接している$.\,$ $1$ つの円と直線 $l$ との接点を $\mathrm{O}$ とし$,\,$ その円と他の $2$ 円との接点をそれぞれ $\mathrm{A\,,B}$ とする$.\,$ $\mathrm{O}$ から直線 $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする$.\,$ 線分 $\mathrm{AB}$ の長さを $d$ として$,\,$ 線分 $\mathrm{OH}$ の長さを $d$ を用いて表せ$.$
公開日時: 2025年12月24日16:31 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$$問 題$$
$自然数Nと素数p,q,rが以下の式を満たすとき、Nを求めよ。$
$$
\begin{cases}
N＝p^qq^pr\\
p ^q +q ^p＝r
\end {cases}
$$
公開日時: 2025年12月23日0:02 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
以下の値を素数 $97$ で割った余りを求めてください.
$$\sum_{k=200}^{300}(-4)^{300-k}{}_{2k}\mathrm{C}_{k}\cdot {}_{k}\mathrm{C}_{300-k}\cdot {}_{2k-300}\mathrm{C}_{k-200}$$
公開日時: 2025年12月21日13:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
正整数 $a$ に対して，$\dfrac{n(n+2)}{a}$ が平方数であるような正整数 $n$ が無限に存在しました．さらに小さい方から $i$ 番目のものを $n_i$ とすると，任意の正整数 $i$ が $n_{i+2}+n_{i}=98n_{i+1}+2n_1$ を満たしました．このとき，$a$ としてありうるものの総和を解答してください．
公開日時: 2025年12月21日13:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$30$ の正の約数を並べ替えた数列 $A$ としてありうるもの全てに対する，以下の操作方法の個数の総和を解答してください．
- 「連続する $2$ 数 $A_i,A_{i+1}$ であって $A_i \mid A_{i+1}$ を満たすものを $1$ つ選び，それらをともに $A$ から削除する」という操作を $4$ 回行い，$A$ を空にする．