数学の問題一覧
問題文
$7216$ のように，
- $11$ の倍数である．
- 上 $1$ 桁を無視してできる数は立方数である．（すなわち，ある整数 $m$ を用いて $m^3$ と表せる）
の $2$ 条件を満たす $4$ 桁の正整数を 祭数 といいます．最大の祭数を解答してください．ただし，上 $2$ 桁目等が $0$ である場合の上 $1$ 桁を無視してできる数とは上 $1$ 桁の数とそれに続く $0$ を無視した数とします．例えば $1011$ の上 $1$ 桁を無視してできる数は $11$ です．
解答形式
半角整数で入力してください．
問題文
以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$
解答形式
半角数字で解答して下さい。
$$nは自然数である$$$$相異なる非負整数x_1,x_2,…,x_nについて$$$$任意のx_i,x_j(1\leq i\leq n,1\leq j \leq n)$$$$に対してとある奇素数pで割った余りが$$$$どれも等しく-2である(x_j,x_i\leq np)$$$$この時以下の式がpで何回割れるか答えよ$$
$$Π_{k=1}^{p}\quad(\sum_{1\leq i <j\leq
n}\quad2(x_ix_j)^k-4n^2 +4^kn) $$
$$ただしΠは相乗を表しΣは総和を表す$$
$$*\sum_{1\leq i <j\leq n}x_ix_jは1\leq i<j\leq nを満たす$$$$すべての整数の組(i,j)についての$$$$x_ix_jの和を表す$$
問題文
各辺が$\;1\;$の正八面体$\;O$-$ABCD$-$E\;$において、$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\;\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},\;\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$とする。
また、辺$\;OB\;$の中点を$\;M\;$、正八面体の各頂点を通る球 (外接球) の中心を$\;L\;$とする。
$(1)\;\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ
$(2)\;$球上の点と点$\;M\;$の最短距離を求めよ
$(3)\;(2)$において最短となる球上の点を$\;N\;$とすると、$\overrightarrow{LN}\;$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ
$$$$
解答形式
㋐～㋗に当てはまる半角数字を行ごとに入力してください。
㋘～㋚には$\;1\;$か$\;-1\;$を入力してください
$(1)\;\overrightarrow{d}=㋐\;\overrightarrow{a}+㋑\;\overrightarrow{b}+㋒\;\overrightarrow{c}$
$(2)\displaystyle\frac{\sqrt{㋓}-㋔}{㋕}$
$(3)\;\overrightarrow{LN}=\displaystyle\frac{\sqrt{㋖}}{㋗}(\;㋘\;\overrightarrow{a}+㋙\;\overrightarrow{b}+㋚\;\overrightarrow{c}\;)$
問題
+1, -1, ×1, ÷1がそれぞれ書かれた4種類のカードがそれぞれ十分な枚数あります。
今、$a_{0}=1$として、毎回1枚のカードを引き、$a_{n+1}$を$a_{n}$に対してそのカードに書かれた操作をすることによって定めます。ただし、nは非負整数です。
例えば、+1、+1、×1の順でカードを引いた時、$a_{0}=1$、$a_{1}=2$、$a_{2}=3$、$a_{3}=3$となります
10回の操作後、$a_{10}=1$となるようなカードの引き方の総数を求めてください。
解答形式
非負整数のみで回答してください
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$，$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると，$$OD=OE, DE=2, BC=11$$ が成り立ちました．線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください．
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
問題文
$BC=18$ かつ面積が $162$ なる三角形 $ABC$ について，重心を $G$，$G$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $P$ とすると，三角形 $PGC$ の面積が $30$ となりました．$AC$ の長さの二乗を求めてください．