数学の問題一覧

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内接円と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする．$B$ について $F$ を対称移動した点を $X$ とし，$C$ について $E$ を対称移動した点を $Y$ とし，三角形 $AXY$ における $A$ を含まない弧 $XY$ の中点を $M$ とすると，以下が成立しました．
$$AX=20,\quad AY=24,\quad DM=19$$
このとき線分 $XY$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB

問題文

三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，直線 $BI$ と線分 $AC$ の交点を $D$ とすると，以下が成立しました．
$$AB=8,\quad AC=10,\quad AD=AI$$
このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.

解答形式

与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1

問題文

$x$ に関する $2028$ 次方程式
$$x^{2028}-x^{2026}-3x^{1000}+3x^{998}-5x^2+5=0$$ の重複を含めた $2028$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2028}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{2028}\alpha_k^{2026}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $100$ 次方程式
$$x^{100}+x^{98}+x^{96}+...+x^4+x^2+2026=0$$ の重複を含めた $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします． $$S_n=\sum_{k=1}^{100} \alpha_k^n$$ とするとき，以下の値の絶対値を求めてください．
$$\sum_{n=1}^{100} {S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $2$ 次方程式
$${x^2+3x+9=0}$$ の $2$ つの複素数解を$\alpha,\beta$ とします．
$${S_n=\alpha^n+\beta^n}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$${\prod_{n=1}^{243}S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $2026$ 次方程式
$${2026^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2026}x^{2026}+2025^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2025} x^{2025}+...+1^2{}_{2026}\mathrm{C}_{1}x \left(=\sum_{k=1}^{2026}(k^2 {}_{2026}\mathrm{C}_k) x^k\right)=1000x+2026}$$ の重複を含めた $2026$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2026}$ とします．
$$S_m=\sum_{k=1}^{2026}\alpha_{k}^{m}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$$\prod_{n=1}^{2024}\left(\left(\sum_{m=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{m}S_{m}\right)-1\right)$$

解答形式

整数 $t$ の正の約数の個数を $d(t)$ で表すものとします．
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$8d(b)-d(a)$ の値を解答してください．

問題文

$2027$ 次の多項式 $f(x)$ は，$0$ 以上 $2027$ 以下の任意の整数 $n$ について $f(n)=\frac{243}{n+1}$ をみたします．また，
$${f(x)=0}$$ の重複を含めた $2027$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2027}$ とします． $${S_n=\sum_{k=1}^{2027}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，これを素数 $2029$ で割ったあまりを $M$ とします． $${\sum_{n=1}^{2027}S_n}$$ 以下の値を求めてください．
$$M+S_1$$

解答形式

整数で解答してください．
解答すべき値が「 $M+S_1$ を $2029$ で割ったあまり」ではないことに注意してください．

問題文

$1,2,...,102$ の並び替え $\sigma=(\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(102))$ について，多項式 $F_{\sigma}$ を
$${F_{\sigma}=x^{200}+x^{199}+\sum_{m=1}^{102}m\sigma(m)x^{m-1}}$$ で定めます．$x$ に関する $200$ 次方程式
$$F_{\sigma}=0$$ の重複を含めた $200$ 個の複素数解を $\alpha_{\sigma_1},\alpha_{\sigma_2},...,\alpha_{\sigma_{200}}$ とし，
$$\sum_{k=1}^{200}\alpha_{\sigma_k}^{100}$$ の値を $\sigma$ のスコアとします． このとき，$\sigma$ としてありうるもの $102!$ 通りすべてについてのスコアの平均値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $2025$ 次方程式
$${x^{2025}+x^{2024}+...+x+1=0}$$
の $2025$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2025}}$ とします．
$${S_n=\sum_{k=1}^{2025}\alpha_k^n}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$${\sum_{n=0}^{20261231}S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $4$ 次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた ${4}$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$

解答形式

整数で解答してください．