数学の問題一覧

2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。

条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。

N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

どの4頂点を選んでもそれが閉路にならない、800頂点の単純平面グラフの辺の数の最大値を求めよ。

平面上の (0,0)から (7,7) まで，次の 2 つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか

・格子点 (x,y) にいるとき，次に移動できる格子点は
(x+1,y),(x,y+1) のいずれかである
・移動の途中で (0,0) でない格子点 (t,t) を通過した場合，格子点
(2t,2t) を通過することはできない
(1≦t≦3,tは整数)

Aさんは次のゲー厶を行った。
Aさんはコインを持っていない。
2つのボタンがある。片方を押すと$1/3$の確率でコイン、もう片方を押すと$2/3$の確率でコインが得られる。4050回ボタンを押して2025個のコインが得られるようにAさんが最善の行動をした際、Aさんは次の条件を満たした。
①4050回スイッチを押した後コインを2025持っていた。
②2n回スイッチを押した後コインをn個持っている、という状態が0以上3回以下発生した。(1≦n≦2024)
条件①②を同時に満たす確率をある既約分数$\frac{a}{b}$を用いて
$\frac{a}{b}×_{4050}C_{2025}×(\frac{2}{9})^{2025}$
と表せるので、a+bを求めよ。

n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。
・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。
nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。
このとき、ある人は命題Qnを唱えた。
「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」
Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。

ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。
1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。

問題文

$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの一方とします．
$$S={\sum_{k=1}^{2026} \frac{1}{k^2+(2\omega+1)k-1}}$$
としたとき，$\left|\frac{S-1}{S}\right|$ を求めてください．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．

問題文

ある演算子⭐︎を次のように定めます。
$$
a⭐︎b=ab+a+b
$$
このとき、$x$についての方程式$x⭐︎(x+2)=-1$を解きなさい。

解答形式

「$x=$」の形から始めなさい。

問題文

以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=0}^{2026} \frac{k^2}{k^2-2026k+1013×2026}$$

解答形式

整数で解答してください

問題文

$1$ 以上 $10^7$ 以下の $11$ の倍数全てに対して，それぞれの各位の和の総和を求めてください．

問題文

$2024!$ 以上の正整数 $n$ のうち，$\dfrac{2025!}{n}$ の小数部分が $\dfrac{2025!-67}{2025!}$ より大きいものの個数を求めてください．