数学の問題一覧

問題文

いずれも $0$ でない $4$ 個の複素数 $x,y,z,w$ が
$$x+y+z+w=30$$ $$x^2+y^2+z^2+w^2={30}^2-2$$ $$x^3+y^3+z^3+w^3=30^3$$ $$x^4+y^4+z^4+w^4=2026$$
を満たします．このとき，$xyzw$ の値を求めてください．

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $100$ 次方程式
$$x^{100}+x^{98}+x^{96}+...+x^4+x^2+2026=0$$ の重複を含めた $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします． $$S_n=\sum_{k=1}^{100} \alpha_k^n$$ とするとき，以下の値の絶対値を求めてください．
$$\sum_{n=1}^{100} {S_n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$x$ に関する $2026$ 次方程式
$${2026^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2026}x^{2026}+2025^2{}_{2026}\mathrm{C}_{2025} x^{2025}+...+1^2{}_{2026}\mathrm{C}_{1}x \left(=\sum_{k=1}^{2026}(k^2 {}_{2026}\mathrm{C}_k) x^k\right)=1000x+2026}$$ の重複を含めた $2026$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2026}$ とします．
$$S_m=\sum_{k=1}^{2026}\alpha_{k}^{m}$$ とするとき，以下の値を求めてください．
$$\prod_{n=1}^{2024}\left(\left(\sum_{m=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{m}S_{m}\right)-1\right)$$

解答形式

整数 $t$ の正の約数の個数を $d(t)$ で表すものとします．
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$8d(b)-d(a)$ の値を解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${2026}$ 次方程式

$${x^{2026}+2025x-2024=0}$$

の重複を含めた ${2026}$ 個の複素数解を ${α_1,α_2,...,α_{2026}}$ とします．以下の値を求めてください．

$${\sum_{k=1}^{2026}α_k^{2026}}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

${x}$ に関する ${2025}$ 次方程式

$${2026x^{2025}-2025x^{2024}-2x+1=0}$$

の重複を含めた ${2025}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{2025}}$ とします．以下の値を求めてください．

$$\sum_{k=1}^{2025}α_k$$

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 ${a,b}$ を用いて ${\frac{a}{b}}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

正整数 $n$ であって以下を満たす $n$ と互いに素な正整数 $m$ が存在するものの総和を求めてください．

• $\dfrac mn$ の小数第 $i$ 位を $a_i$ とすると，正整数 $j$ であって任意の正整数 $k$ に対して $a_k=a_{j+k}$ を満たすようなものが存在して，かつその最小値が $6$ である．

解答形式

半角で解答してください．

2026/3/8 23:48に問題の不備解消のため太字部分を追加しました。

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1　　EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.

解答形式

半角で入力してください。

正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.

• $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
• $x$ は $y^2$ の約数である
• $y$ は $x^2$ の約数である

$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.

問題文

素数 $p = 10^9 + 7$ とし，整数 $N$ を $N = 10^{18} + 14000000047$ と定義します．

このとき，次の値 $S$ を $p$ で割った余りを求めてください．

$$S = \sum_{k=0}^{\lfloor N/2 \rfloor} \binom{N}{2k} 5^k$$

解答形式

半角左詰めでお願いします

問題文

以下の $2$ つの条件をともに満たす正の整数 $x$ の総和を求めてください．

• $\sqrt{105625 - x^2}$ は整数である．
• $x$ と $\sqrt{105625 - x^2}$ の最大公約数は素数である．

解答形式

半角左詰めでお願いします

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.

• $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.

$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.

解答形式

半角左詰めでお願いします

問題文

$3^{20}+2^{25}=3520338833$ は素因数を $3$ つもつので，それらの総和を解答してください．

解答形式

半角で入力してください。