数学の問題一覧

問題文

数列{$a_{n}$}を次の条件により定める。
$$
a_{1}=a_{2}=1,
a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0
　(n=1,2,3,...)$$
これについて、次の問いに答えよ。
$(1)$　$a_{3}$を求めよ。
$(2)$　$a_{2025}$を求めよ。
$(3)$　$\sum_{n=1}^{2025}\quad{a_{n}}$を求めよ。

解答形式

答えのみを半角算用数字で答えてください
例えば(1)の答えが3、(2)の答えが100、(3)の答えが80のときは、
3,100,80
のように答えてください。

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，四角形 $KSHD$ は凹四角形となりさらに以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

以下で定義される関数 $f(n)$ について, $f(1000)$ を互いに素な正整数 $a,b$ を用いて, $\dfrac{a}{b}$ と表したとき, $ab$ が$2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

$$
f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{(m+1)m^2n^{n-m-1}}{(n-m)!}
$$

以下の整数 $2$ つの組からなる関数 $f(n,m)$ について, $f(30000,20000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

• $n,m$ のいずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $f(0,0)=f(0,1)=f(1,0)=1$.
• $(n,m)\not \in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ であるとき, 以下が成立.
  $$f(n,m)+f(n-2,m)+f(n,m-2)=2f(n-1,m)+2f(n,m-1)+2f(n-1,m-1)$$.

問題文

$x$を$x^2+2ax+b=0$の解でない実数、$a,b$を$100$以下の正整数とする。
ある$a,b$に対して
$$x^2+2ax+b-\frac{1}{x^2+2ax+b}$$
の最小値を$min(x)$とすると、この$min(x)$の値は、$a,b$の値によって変わる。$min(x)$が一意に定まり、かつその$min(x)$を最小にするような$a,b$の値をすべて求めよ。

追記:問題文を一部変更しました。

解答形式

ありうる組$(a,b)$について、$a+b$の総和を半角数字で入力してください。

問題文

$x$を実数とする。
$$x^2+1-\frac{1}{x^2+1}$$
の最小値を求めよ。

解答形式

最小値の値を半角数字で入力してください。

以下で定義される関数 $f(n)$ について, $f(1000)$ を互いに素な正整数 $a,b$ を用いて, $\dfrac{a}{b}$ と表したとき, $ab$ が$2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

$$
f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{mn^{n-m-1}}{(n-m)!}
$$

問題文

整数 $n$ について， $n^5+n^4+32$ が素数でないことを示せ．

解答形式

簡単な証明をお書き下さい．

正整数 $a,b$ であって以下が整数になるようなすべての組 $(a,b)$ について $ab$ の総和を求めてください
$$
\frac{(3ab+2a+4b-6)^2}{13(a^2b^2+a^2+4b^2+4)}
$$

問題文

正整数列 $A_{n}$ を以下のように定義する
$$
1個の2 以上の正整数を要素に持ち，それらの総積が n に等しい
$$　　この時 $A_{2^{100}}$ としてありうる数列すべてについて，その要素の
総和を $97$ で割った余りを答えてください。
　　ただし，並び替えて一致するものも別々として数える。
例えば $A_{8}$ としてありうるものは $\lbrace8\rbrace,\lbrace2,4\rbrace, \lbrace4,2\rbrace, \lbrace2,2,2\rbrace$ でありその要素の総和は $8+2+4+4+2+2+2+2=26$ である。

解答形式

正整数で答えてください

関数$A(n),B(n)$を
$$
A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\
B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数)
$$
と定めるとき,次の値を求めてください.
$$
\sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)}
$$

$99989796…090807060504030201$を$97$で割った余りを求めてください.