数学の問題一覧

問題文

1
下の行列$A$に対して$f\colon \mathbb{R}^{6} \to \mathbb{R}$を$f(x)={}^{t}xAx$で定義する。${}^{t}x$は$x$の転置である。
$f$が原点で最大最小をとらない$a$の範囲を求めよ。

$$
A=\begin{pmatrix}
a& -3 & -a & 2 & 9 & a\\
-3 & -3 & 1 & 0 & 5 & 1\\
-a& 1 & 4 & 5 & 4 & 7\\
2& 0 & 5 & 1 & a & 1\\
9& 5& 4 & a & -4 & -4\\
a& 1 & 7 & 1 & -4 & a\\
\end{pmatrix}
$$

2
$$
X=\begin{pmatrix}
1& 6 & 0 & -2 & 1 & 0\\
2 & b& 2 & 1 & 4& 3\\
-1& 9 & -3 & 7 & 1 & -1\\
2& -1 & 0 & 1 & 6 & 0\\
-1& -4 & -3 & 2 & b & 2\\
-7& -1 & 1 & -1 & 9 & -3
\end{pmatrix}
$$
が実対角化可能な$b$の範囲を求めよ。

ヒント1は1のヒント、ヒント2-4が2のヒントです。

解答形式

$\displaystyle\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}<a<\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$、$\displaystyle\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}<b<\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}$
である。$\fbox{ア}$から順に1行ごとに答えよ。
ただし、任意の$a$で成立しないときは
$$
\fbox{ア}=00,\fbox{イ}=00,\fbox{ウ}=00,\fbox{エ}=00
$$
とし、任意の$a$で成立するときは
$$
\fbox{ア}=000,\fbox{イ}=000,\fbox{ウ}=000,\fbox{エ}=000
$$
のように答えてください。$b$も同様です。

$$
f(m)=|\quad{\sqrt{{m}^{log_{3}{9}}+log_{m}{m}+2log_{4}{4}^m}}|\\について、m<-1のとき、f(3)を求めて下さい。
$$
$$
(1)-4(2)-3(3)-2(4)-1
$$

$$
\int_0^{sin30}(log_2\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{{\sqrt{1024}}^{n}}}}}}}}}-log_216)dn
$$

問題文

表面積が$\displaystyle n \sin \frac{2\pi}{n}$である正$n$角錐の体積の最大値を$V_n$とする。
$$\begin{eqnarray}
A &=& \lim_{n \to \infty} V_n \\
B &=& \lim_{n \to \infty} n^2 (V_n -A )
\end{eqnarray}$$とするとき$A,B$は
$$
A = \fboxア \frac{\pi^\fboxイ}{\fboxウ} , \qquad B = \fboxエ \frac{\fboxオ \pi^\fboxカ}{\fboxキ}
$$となるので文字列「$\fboxア\fboxイ\fboxウ\fboxエ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$」をすべて半角で1行目に答えよ。ただし$\fboxア\fboxエ$は$\texttt{+-}$のどちらか、$\fboxイ\fboxウ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$は自然数であり、$\fboxオ$と$\fboxキ$は互いに素である。

問題文

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$であるとするとき、$2\sin\theta+\tan\theta>3\theta$を示せ。
(2)$\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}$と$\pi$の大小関係を示せ。

$$
\int_{0}^{m}|\sqrt{\sqrt{x}^{4}}|dm=log_381\\について、小さい方の解を求めて下さい(x>0)。
$$
$$
(1)\sqrt{3}(2)-\sqrt{3}(3)2\sqrt{3}(4)-2\sqrt{3}
$$

$$
\int_{0}^{m}\sqrt{\sqrt{x}^{4}}dm\int_{0}^{n}\sqrt{\sqrt{y}^{4}}dn\\について、積分して下さい。
$$
$$
(1)\frac{1}{2}{m}^2{n}^2
(2)\frac{1}{3}{m}^2{n}^2
(3)\frac{1}{4}{m}^2{n}^2
(4)\frac{1}{5}{m}^2{n}^2
$$

$$
\int_{0}^{m}(\sqrt{\sqrt{x}^{4}}log_{2}{16})dm\\について積分して下さい。
$$
$$
(1)m^{2}(2)2{m}^{2}(3)3{m}^{2}(4)4{m}^{2}
$$

$$
\int_{0}^{n}(\sqrt{\sqrt{x}^{4}}log_28log_327)dn\\について積分して下さい。
$$
$$
(1)\frac{7}{2}{n}^{2}(2)\frac{9}{2}{n}^{2}(3)\frac{11}{2}{n}^{2}(4)\frac{13}{2}{n}^{2}
$$

$$
初項１、公差３における
$$
$$
{b}_{n}=3n+{a}_{n}
$$
$$
{c}_{n}={b}_{n}-2n
$$
$$
における、次の問に答えて下さい。
$$
$$
（ⅰ）一般項{{a}_{n}}を示して下さい。
$$
$$
(1)n-2
(2)2n-2
(3)3n-2
(4)4n-2
$$
$$
（ⅱ）一般項{{b}_{n}}をｎの式で示して下さい。
$$
$$
(1)3n-2
(2)4n-2
(3)5n-3
(4)6n-4
$$
$$
（ⅲ）一般項{{c}_{n}}をｎの式で示して下さい。
$$
$$
(1)2n-2(2)3n-3(3)4n-3(4)4n-4
$$
$$
（ⅳ）{{b}_{n}}と{{c}_{n}}の積における最小値、ｎを示して下さい。
$$
$$
(1)-\frac{1}{2} ,\frac{2}{5}
(2)-\frac{2}{3},\frac{3}{7}
(3)-\frac{2}{3},\frac{3}{5}
(4)-\frac{1}{3},\frac{5}{6}
$$

$$
方程式3^\sqrt{{m}^2log_xx^{{log_28}^{log_327}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\について、ｍの値を求めて下さい。
$$
$$
(1)-\frac{1}{3}(1)-\frac{1}{6}(1)-\frac{1}{9}(1)-\frac{1}{12}
$$

$$\int_0^{\frac{1}{3}}\pi(-\frac{1}{2}x+1)^2dx$$