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問題文

次の漸化式で定まる多項式 $f_i$ がある．

• $f_0(z)=0$
• $f_1(z)=-z-3$
• $f_k(z)=(3z+1)f_{k-1}(z)-2(z^2-1)f_{k-2}(z)\quad(k\ge 2)$

正の整数 $n$ に対し $f_n(z)=0$ の複素数解全体を $S_n$ とする．$S_n$ を一列に並べて $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_{|S_n|}$ としたとき，
$$\sum_{i=1}^{|S_n|-1}|\alpha_i-\alpha_{i+1}|$$
の最小値を $L_n$ とする．$\displaystyle\lim_{n\to\infty} L_n$ を求めよ．

解答形式

問題の答えを $A$ としたとき，$\big\lfloor 1685A \big\rfloor$ の値を半角整数値で回答してください．

問題文

ある円周上に点をランダムに無限個打ち，打った順に $A_1,A_2,A_3,\cdots$ とします．また，以下のルールに従い点つなぎを行います．

ルール

• ペン先を $A_1$ に置く．
• 現在のペン先が $A_i$ にあるとき，$A_i$ と $A_{i+1}$ を線分で結ぶ．このとき，ペン先は $A_{i+1}$ へと移動する．
• 途中で他の線分と端点を除いて交わってしまう場合，現在の線分を消して点つなぎを終了する．

引くことの出来る線分の本数の期待値を $E$，分散を $V$ としたとき $V=f(E)$ となる整数係数多項式 $f$ がただ $1$ つ存在するので，$|f(1685)|$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください