Nyarutann

問題文

$a, b$ を整数とします．$x$ についての方程式
$$
x^2+ax+b=0
$$について，$a+b=k$ となるすべての $(a, b)$ の組についてそれぞれの方程式を解いていくと，方程式が整数解をもつ(重解含む)ような $(a, b)$ の組が $4$ 種類のみ存在しました．$0≦k≦20$ としたとき， $k$ としてありうる値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$1$ 辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ の内部に点 $P$ をとると，$△ACP$ と $△BDP$ の面積がどちらも $10$ になりました．$P$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ としたとき，$AE$ の長さとしてありうる値の総積を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$N, E, K, O$ には，$1$ 以上 $9$ 以下の相異なる正整数が入ります．
$$
N\times{E}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}=K\times{O}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}
$$を満たすとき，$N+E+K+O$ としてあり得る値の最大値と最小値の積を求めてください．

解答形式

答えは正整数になるので，半角数字で解答してください。

問題文

にゃんこ大戦争には，$10$ 体の基本キャラが存在します．そのキャラを図鑑と同じ順番で，$1, 2, \ldots , 10$ と番号を付けます．今、$1$ 番のキャラ(ネコ)が $512$ 体一列に並んでおり，以下の操作を $511$ 回行います．

• 番号がともに $n$ である隣り合う $2$ 体を選び，その $2$ 体を取り除いて番号が $n+1$ であるキャラを同じところに $1$ 体入れる．

最終的に，番号が $10$ であるキャラ(ネコ超人)が残るような、操作の行い方(順番)は $N$ 通りあります．$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．

解答形式

答えは正の整数値になるので、それを半角数字で解答してください。

問題文

アルファベット $9$ 文字 $A, I, K, M, N, O, R, S, U$ には相異なる $1$ 以上 $9$ 以下の正整数が入ります．

を満たすとき，$A, I, K, M, N, O, R, S, U$ は一意に定まるので，これを順に解答してください．

解答形式

カンマやスペースなどを入れず，半角数字のみで解答してください．
例えば，$A=1, I=2, \ldots, U=9$ のとき，$123456789$ のように解答してください．

問題文

$AD$ と $BC$ が平行であるような等脚台形 $ABCD$ において，$AB, BC, CD, DA$ の中点を $K, M, N, O$ ，$AC$ と $BD$ の交点を $E$ としたとき，以下が成り立ちました．
$$
MO=24　NE=\dfrac{\sqrt{1115}}{2}　KO=20
$$このとき，四角形 $NEKO$ の面積としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

答えは正整数になるので，半角数字で解答してください．

問題文

$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．

• 任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．

• 互いに向かい合っているような矢印は存在しない．

• $3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．

条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ において，$\angle{A}, \angle{B}, \angle{C}$ の角の二等分線と辺 $BC, CA, AB$ との交点を $D, E, F$ ，直線 $CF$ と $DE$ の交点を $X$ ，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AD, AX$ の交点を $M, N$ とすると，以下が成り立ちました．
$$
MN=NC， BD=4， DC=6
$$このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．ただし，答えは 正整数 $a, b, c$ ( $a$ と$b$ は互いに素，$c$ は平方因子を持たない)を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}}{a}$ と表されるので $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$1$ 以上 $5$ 以下の整数しか項に持たない全 $2025$ 項の数列があり，任意の連続する $3$ 項において以下を満たします．

• $3$ 項の順番を並び替えることで等差数列になる．

例えば，$1, 1, 1, 1, \ldots$ や $1, 3, 5, 4, \ldots$ は条件を満たします．このような数列は $N$ 個あります．$N$ を素数 $677$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ において，辺 $BC, CA, AB$ 上(端点除く)に点 $P, Q, R$ をとると，四角形 $AQPR$ は円 $\omega$ に内接し，点 $P$ で辺 $BC$ に接しました．点 $A$ における円 $\omega$ の接線と，直線 $BC$ の交点を $S$ とします．また，$AS$ と$QR$ の交点を $T$ ，$AP$ と $QR$ の交点を $U$ ，$AC$ の中点を $M$ ，円 $\omega$ の中心を $O$ とすると，以下が成り立ちました．

• $\angle{CAT}=90$ °
• $CO=20$
• $SU$ は $\angle{ASP}$ の角の二等分線
• $MO=2$

このとき，$AB$ の長さは，互いに素な正整数 $a, b$ と，平方因子をもたない正整数 $c$ を用いて，$\dfrac{a\sqrt{c}}{b}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正整数になるので，半角数字で解答してください．

問題文

いま，「飛翔の武神・真田幸村」「覚醒のネコムート」「大狂乱のネコライオン」(以降真田・ムート・ライオンと表記)がおり，$3$ キャラが同じ距離をそれぞれ一定速度で移動します．最初，$3$ キャラは真田，ライオン，ムートの順に速く，真田とライオンの所要時間の差と，ライオンとムートの所要時間の差の比は $6:5$ でした．しかし，ムートの本能が解放され，移動速度が $10$ 上がると，真田，ムート，ライオンの順に速くなり，真田とムートの所要時間の差と，ムートとライオンの所要時間の差は $11:10$ になりました．
　このとき，本能解放後のムートの速度としてあり得る最小の正整数値を求めてください．
　ただし，他のキャラの速度も正整数値であるとします．

解答形式

答えは正整数値となるので，半角数字で解答してください．