GaLLium31

問題文

$ \pi$ ナポゥくんの生まれた日からの日数を $N$ とします.
$ \pi$ ナポゥくんは既に $3$ 歳の誕生日を迎えていますが，$28$ 歳の誕生日は迎えていません．
$N$ の各桁の総和が $22$ であるとき、$N$ として考えられる正整数はいくつありますか．

解答形式

半角英数字で解答してください．

問題文

正三角形 $ABC$ の内部を以下のように歩く移動するペンギンがいる．

・ 常に直進するが，辺（頂点を除く）にぶつかった場合は，辺に対して今移動してきた直線と対称な直線へ方向転換する．頂点についた場合，その時点で歩行をやめる．

また，$0\leq p \leq 1$を満たす実数 $p$ に対して，$f(p)$を以下のように定める．

・$f(p)$は，$AC$ を $p:1-p$ に内分する点を $D$ とし，このペンギンがはじめ $B$ にいて、$D$ に向かって直進したときの，ペンギンの歩行が止まるまでに辺（頂点を除く）にぶつかった回数

正整数 $n$ に対して，$f(p)=n$ を満たす $p$ の総和が $9$ であったとき，$n$ としてありうる値の総積を求めてください．

解答形式

非負整数を半角英数字で解答してください．

問題文

$30$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．

• $i=30,29, \dotsc,1$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．

なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．

• はじめに $30$ 人それぞれに正整数を与え，$i=30,29,\dotsc,1$ について以下を繰り返す．
  • まだ叫んでいない人の内，与えられた数が $i$ の約数もしくは倍数である人は，数 $i$ を叫ぶ．

このたけのこニョッキが成功するような，$30$ 人に与えられる正整数の総和の最小値を解答して下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

実数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ が考えられる最大値をとるような $P(x)$ の個数を素数 $9973$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき，
$$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$
の値を求めてください．

解答形式

半角英数字で回答してください．

問題文

$30$ 人の人が $\pi$ ナポゥ君の主催するたけのこニョッキ大会に参加します．ルールは次の通りです．

• $i=30,29, \dotsc,1$ の順に $1$ 人 $1$ つの数 $i$ を叫んでいき，最後まで叫ぶことができたら成功である．もし $i$ を複数人が叫んでしまったり，だれも叫ばなかったりした場合は失敗である．

なかなか成功しないことに気づいた $\pi$ ナポゥ君は，次のように八百長をすることにしました．

• はじめに $30$ 人それぞれに正整数を与え，$i=30,29,\dotsc,1$ について以下を繰り返す．
  • まだ叫んでいない人の内，与えられた数が $i$ の約数もしくは倍数である人は，数 $i$ を叫ぶ．

このたけのこニョッキが成功するような，$30$ 人に与えられる正整数の総和の最小値を解答して下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$ \pi$ ナポゥくんの生まれた日からの日数を $N$ とします.
$ \pi$ ナポゥくんは既に $3$ 歳の誕生日を迎えていますが，$28$ 歳の誕生日は迎えていません．
$N$ の各桁の総和が $22$ であるとき、$N$ として考えられる正整数はいくつありますか．

解答形式

半角英数字で解答してください．

問題文

実数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ が考えられる最大値をとるような $P(x)$ の個数を素数 $9973$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正三角形 $ABC$ の内部を以下のように歩く移動するペンギンがいる．

・ 常に直進するが，辺（頂点を除く）にぶつかった場合は，辺に対して今移動してきた直線と対称な直線へ方向転換する．頂点についた場合，その時点で歩行をやめる．

また，$0\leq p \leq 1$を満たす実数 $p$ に対して，$f(p)$を以下のように定める．

・$f(p)$は，$AC$ を $p:1-p$ に内分する点を $D$ とし，このペンギンがはじめ $B$ にいて、$D$ に向かって直進したときの，ペンギンの歩行が止まるまでに辺（頂点を除く）にぶつかった回数

正整数 $n$ に対して，$f(p)=n$ を満たす $p$ の総和が $9$ であったとき，$n$ としてありうる値の総積を求めてください．

解答形式

非負整数を半角英数字で解答してください．

問題文

正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき，
$$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$
の値を求めてください．

解答形式

半角英数字で回答してください．