GaLLium31

問題文

$10000$ 以下の最大の素数を解答してください．

問題文

上から $i$ 段目 $(1 \leq i \leq 2026)$ に $i$ 個の正整数を並べて三角形を作る方法であって，どの段も総和が $2026$ となるようなものの個数を素数 $2029$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

$ \pi$ ナポゥくんの生まれた日からの日数を $N$ とします.
$ \pi$ ナポゥくんは既に $3$ 歳の誕生日を迎えていますが，$28$ 歳の誕生日は迎えていません．
$N$ の各桁の総和が $22$ であるとき、$N$ として考えられる正整数はいくつありますか．

解答形式

半角英数字で解答してください．

問題文

非負実数 $x,y$ が $x^2 + y^2=2000$ を満たすとき，$x+2y$ の最小値を解答してください．

問題文

$ \angle B = 45^{\circ}$ なる 鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．$AD=12,CD=5$ のとき，三角形 $ABC$ の面積を解答してください．

問題文

正三角形 $ABC$ の内部を以下のように歩く移動するペンギンがいる．

・ 常に直進するが，辺（頂点を除く）にぶつかった場合は，辺に対して今移動してきた直線と対称な直線へ方向転換する．頂点についた場合，その時点で歩行をやめる．

また，$0\leq p \leq 1$を満たす実数 $p$ に対して，$f(p)$を以下のように定める．

・$f(p)$は，$AC$ を $p:1-p$ に内分する点を $D$ とし，このペンギンがはじめ $B$ にいて、$D$ に向かって直進したときの，ペンギンの歩行が止まるまでに辺（頂点を除く）にぶつかった回数

正整数 $n$ に対して，$f(p)=n$ を満たす $p$ の総和が $9$ であったとき，$n$ としてありうる値の総積を求めてください．

解答形式

非負整数を半角英数字で解答してください．

問題文

以下のようなゲームがあります．

• 山 $1$, 山 $2$, ...,山 $2026$ があり，はじめ 山 $i$ には $a_i (1 \leq a_i \leq 31)$ 個の石が積まれている．先手と後手が交互に以下の操作を繰り返し，操作が出来なくなったら負けである．
  • ある山が存在して，積まれている石の数が( $0$ でない)偶数個ならばその半分をとる．そうでないならば，石が積まれている全ての山から石を $1$ つとる．

先手が必ず勝つような数列 $a_i$ の個数を $2026$ で割ったあまりを解答してください．

問題文

$ \angle B = 45^{\circ}$ なる 鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．$AD=12,CD=5$ のとき，三角形 $ABC$ の面積を解答してください．

問題文

$10000$ 以下の最大の素数を解答してください．

問題文

非負実数 $x,y$ が $x^2 + y^2=2000$ を満たすとき，$x+2y$ の最小値を解答してください．

問題文

$\dfrac{51-n}{n-1}$ が平方数となるような整数 $n$ の総和を解答してください．

(13:17追記　 $0$ も平方数に含むとします)

問題文

$S=\lbrace 0,1, \ldots , 30 \rbrace$ とします．関数 $f:S \rightarrow S$ であって，以下を満たすようなものの個数を $N$ とします．

• 任意の $x,y \in S$ について，$x^{12}-y^{12}$ が $31$ の倍数ならば，$f(x)^{25}-f(y)^{25}$ も $31$ の倍数．

$N = a \cdot b^c$ であるような正整数 $a,b,c$ について，$a+b+c$ の最小値を解答してください．