atawaru

問題文

$2^{10}×3^7×5^4$ の正の約数 $440$ 個を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_{440}$ とします．いま，これらの数が両面に $1$ つずつ書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつあり，すべて表向きに並べられています．$i=1,2,\dots,440$ に対して，$i$ 回目の操作を次のように定めます．

• $d_i$ の正の約数が書かれたカードをすべて裏返す．

$440$ 回操作を順に行ったとき，表向きであるカードは何枚ありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

素数 $p,q,r$ と正整数 $n$ の組 $(p,q,r,n)$ であって，

$$p^n-4q^4=r^4$$

を満たすものすべてについて，$pqrn$ の値の総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$100$ 以下の正整数 $n$ であって，$4$ つの実数 $a,b,c,d$ が $4a+3b+2c+d=n$ を満たして動くとき，

$$a^2+b^2+c^2+d^2+a+2b+3c+4d$$

の取りうる最小値が整数となるものすべての総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

平面上に正 $27$ 角形があります．これの相異なる $4$ つの頂点を選ぶ方法であって，それらを頂点に持つ四角形の内角の大きさがいずれも度数法で整数となるようなものは何通りありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，その値を半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，角 $A,B,C$ 内の傍接円をそれぞれ $\Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_C$ とします．また，$\Gamma_A$ と直線 $AB,AC$ との接点をそれぞれ $P,Q$ ，$\Gamma_B$ と直線 $BC,BA$ との接点をそれぞれ $R,S$ ，$\Gamma_C$ と直線 $CA,CB$ との接点をそれぞれ $T,U$ とします．線分 $PS,QT,RU$ の長さがそれぞれ $25,26,29$ であるとき，三角形 $ABC$ の周長を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，その重心を $G$ としたところ，

$$AB^2-GB^2=20，AC^2-GC^2=26$$

が成立しました．このとき，線分 $AG$ の長さの $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を半角で解答してください．

問題文

数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n=1,2,\dots}$ が $a_1=-2,a_2=1$ を満たし，さらに次の条件を満たすとき，$a_{100}$ の値を求めてください．

• 任意の正整数 $k$ について，$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}=k$ が成り立つ．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$3$ 個以上の相異なる $300$ 以下の正整数からなる集合が次の条件を満たすとき，その要素数として考えられる最大の値を解答してください．

• どの相異なる $3$ 個の要素を選んでも，それらを $3$ 辺の長さとする(非退化な)三角形は存在しない．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1,2,\dots,8$ の並び替え $a_1,a_2,\dots,a_8$ について，そのスコアを

• $i=1,2,\dots,7$ のうち，$a_i\lt a_{i+1}$ なるものの総和

と定めます．$8!$ 通りすべての並び替えのスコアの総和を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

正六角形 $ABCDEF$ の内部に，正六角形 $GHIJKL$ があります．また，平行な $2$ 直線 $WX,YZ$ の距離を $f(WX,YZ)$ とします．このとき，これらは以下をすべて満たしました．

• $AB\parallel GH,BC\parallel HI$
• $f(AB,GH)\lt f(AB,KJ)$
• $f(AB,GH)+f(BC,HI)+f(CD,IJ)+f(DE,JK)+f(EF,KL)+f(FA,LG)=8$

このとき，$2$ つの正六角形の一辺の長さの差の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

実数 $x$ であって，$x$ の整数部分と小数部分の積が $x$ となるものを大きい順に $x_1,x_2,\dots$ とします．このとき，$x_2x_3\dots x_9$ の値を求めてください．なお，$x$ の整数部分とは $x$ 以下の最大の整数，小数部分とは $x$ から $x$ の整数部分を引いた値のことを言います．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，角 $A$ の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$ ，線分 $BC$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $E$ とします．このとき，三角形 $CDE$ の周長は $20$ であり，さらに

$$AD=DC，AE=6$$

が成立しました．線分 $AB$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

正整数からなる有限集合 $V$ に対し，その要素数を $f(V)$ ，要素の総和を $g(V)$ とします．相異なる正整数からなる有限集合 $S$ であって，次を満たすものを良い集合とします．

• $S$ の任意の部分集合 $T$ について，命題「 $f(T)$ が奇数ならば $g(T)$ は素数である」は真である．

$f(S)$ が最大となるような良い集合 $S$ のうち，$g(S)$ が最小となるようなものは一意に定まるので，その要素の総積を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

どの位の数字も $0$ でない $11$ 桁の正整数であって，どの連続する $4$ 桁の正整数も $11$ の倍数であるようなものは何個ありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2$ 行 $15$ 列のマス目があり，初めモンスターは $1$ 行 $8$ 列のマスにいます．モンスターが $2$ 回以上同じマスを通らないようにして隣り合う（線分を共有する）マスに移動することを繰り返すとき，すべてのマスを通るような移動方法は何通りありますか．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

円 $\Gamma$ があり，これの接線 $l,m$ を引いたところこれらは点 $H$ で直交しました．また，$l,m$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $A,B$ とし，$\Gamma$ の内部に $\angle{APB}=90^\circ$ となる点 $P$ をとり，さらに直線 $AP,BH$ の交点を $Q$ ，直線 $AH,BP$ の交点を $R$ とします．このとき，$3$ 点 $A,P,Q$ はこの順に並び，三角形 $ABQ$ の面積が $72$ ，$PR=30$ となりました．線分 $BR$ の長さを求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ のうち，次の条件を満たすものはいくつありますか？

• $n$ の $k$ 個の正の約数を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_k$ としたとき，任意の $1$ 以上 $k-1$ 以下の整数 $i$ について $d_{i+1}-d_i\leq40$ が成立する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

以下の条件をすべて満たすような正整数 $n$ はいくつありますか？

• $n$ は $3$ の倍数である．

• $2$ 進法で表記した $n$ はちょうど $15$ 桁の数で，そのうち $5$ つの桁の数字が $0$ である．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．