$26$ 種類あるアルファベットの大文字からなる文字列に対し,次のようにして整数を対応付けます.
例えば,文字列 $CAT$ は,$C$ が $3$ 番目,$A$ が $1$ 番目,$T$ が $20$ 番目のアルファベットであるから $3120$ となります.このように,ある文字列に対応付けられる整数は一意に定まります.
いま,ある文字列に対応付く整数が $12012311821$ となりました.元の文字列として考えられるものはいくつありますか?
答えは非負整数値となるので,それを半角で入力してください.
ある正の実数 $k$ があり,$x$ についての $4$ 次多項式 $f(x)$ を
$$f(x)=x^4+4kx^3+3kx^2+2kx+k$$
と定めます.方程式 $f(x)=0$ は相異なる $4$ 個の複素数解を持ったのでそれらを $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とし,さらに $x$ についての $4$ 次多項式 $g(x)$ を,$4$ 次の項の係数が $1$ であり,かつ方程式 $g(x)=0$ が $4$ 個の複素数解 $\dfrac{1}{\alpha},\dfrac{1}{\beta},\dfrac{1}{\gamma},\dfrac{1}{\delta}$ を持つように定めます.
$g(6)=2025$ であるとき,$k$ の値を求めてください.
答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.