問題文
あなたは今日突然術式が覚醒し, 任意の結界で死滅回遊への参加を宣誓することになりました。
死滅回遊に参加したあなたは$1$日に$1$度だけ敵に遭遇し, 各日の遭遇については, 遭遇した敵が術師である確率が $\dfrac{1}{3}$, 非術師である確率が $\dfrac{2}{3}$ である。
あなたは各日 $k＝1,2,…,19$ について, 遭遇する前に確率 $p_k (0<p_k \leqq 1)$ を取り, 以下のゲームを考える。
・その日に術師と遭遇した場合, $\sqrt{p_k}$ で勝利し, 勝てば$5$点を奪うことができる。負けた場合$5$点奪われることになる。
・その日に非術師と遭遇した場合, $\sqrt{1-p_k}$ で勝利し, 勝てば$1$点を奪うことができる。同様に負けた場合$5$点奪われることになる。
$19$日間の総得点の期待値の最大値を求めてください。また, 期待値が最大となるときの $p_k$ を答えてください。
解答形式
求める期待値の最大値は互いに素な正整数 $a,c$, 平方因子をもたない $b$, 正整数 $d$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}-d$ と表せるので, $a+b+c+d$ の値とその後ろに $p_k$ の分母と分子の和をすべて半角で入力してください。
※空白はいりません。
例: 最大値が $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}-4$ で, そのとき $p_k=\dfrac{1}{2}$ の場合 → $143$
問題文
以下の表はある旧帝一工(前期)で過去に出題された数学の問題に出てくる関数の増減表である。
出題された年度と大学名を答えてください。
$※$ $f(x)$ とは私が勝手に置いたものです。
・インターネット上の過去問サイトに掲載されている旧帝一工(医科歯科を除く)の問題です。
・過去問データベースなどで問題を確認したり，検索してみても構いません。
・ヒントと称していますが，ヒントがないと一意に定まらない場合があります。
解答形式
年度と大学名を答えてください
例) 年度は半角数字です。
2026年大阪大学
2026年九州大学
2026年京都大学
2026年東京工業大学
2026年東京大学
2026年東北大学
2026年名古屋大学
2026年一橋大学
2026年北海道大学
問題文
$\boxed{1}, \boxed{-1}, \boxed{1+i}, \boxed{1-i}$ の4枚のカードから無作為に1枚取り出して，書かれている数字を記録して，元に戻す操作を $n$ 回繰り返す。$k$ 回目に取り出したカードに書かれてる数を $X_k$ とする。
$\displaystyle P_n=\prod_{k=1}^{n} X_k$ が正の実数になる確率を $n$ を用いて表してください。
解答形式
$n$ が奇数のとき
$P_n=\dfrac 1a\left(b+\left(\dfrac dc\right)^{n-1}\right)$
$n$ が偶数のとき
$P_n=\displaystyle\dfrac 1e\left(f+\left(\dfrac hg\right)^{n-1}
+\left(\dfrac ji\right)^{\frac{ln}{k}-m}\right)$
と表せるので，$a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m$ の値を入力してください。
※$n$ が紛らわしいので注意
$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\log_{e^{n}}\,{}_{2n}\mathrm{C}_{n}$$を求めてください。
解答形式
半角で数字のみ入力してください。
・答えが分数になる場合は分母と分子の和を答えてください。
(例: $\dfrac{1}{2}$ → $3$を入力する )
・答えに$\pi$を含む場合は$\pi=3$として答えてください。
(例: $2\pi$ → $6$を入力する，$\dfrac{\pi}{2}$ → $5$を入力する )
・答えに$\log$を含む場合は$a\log b$となる場合も$\log b^a$として真数のみ答えてください。
(例: $2\log 2$ → $4$を入力する )
・上記の例に当てはまらない場合は$0$と入力してください。($0$に収束する場合も$0$と入力します)