鋭角三角形$ABC$について,その垂心を$H$,外心を$O$,線分$AB$,$BC$,$CA$の中点をそれぞれ$L,M,N$とします.円$OMN$と直線$LN,LO,LM$の交点のうち,$N,O,M$でないほうをそれぞれ$P,Q,R$とすると以下が成立しました. $$ AH=6,LN=4, PC\perp CR. $$ この時,線分$OQ$の長さの二乗の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.
鋭角三角形$ABC$について,その外接円を$\Gamma$,外心を$O$,垂心を$H$,点$A$から辺$BC$に下した垂線の足を$D$とします.さらに,直線$AO$と辺$BC$の交点を$E$,直線$AO$と$\Gamma$の交点を$F$とすると以下が成立しました. $$ OH=10, DH=12, EF=13 $$ このとき$\Gamma$の面積としてありうるものの総和は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab\pi$と表せるので$a+b$を回答してください.
$99989796…090807060504030201$を$97$で割った余りを求めてください.
関数$A(n),B(n)$を $$ A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\ B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数) $$ と定めるとき,次の値を求めてください. $$ \sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)} $$
